Wahrscheinlichkeitstheorie, bedingte (WFT)

Grundmenge
Ω   Menge von elementaren Ereignissen

Hilfsbasismenge
\mathbb{R}   (Menge der reellen Zahlen)

Relation
\cal A   Menge von Zufallsereignissen

Funktion
pb bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion

Definitionen
[ 0, 1 ] ist das reelle Intervall von 0 bis 1, [ 0, 1 ] ⊂ \mathbb{R}
A c ist das Komplement einer Menge A
p ( X | Y ) := pb ( X, Y )   bedingte Wahrscheinlichkeit

Typisierungen
θ1   \cal A ∈ ℘ ( ℘ ( Ω ) )
θ2   pb\cal FUN ( \cal A × \cal A: [ 0, 1 ] )

Hypothesen
H1   Ω ∈ \cal A
H2   A ( A ∈ \cal A → A c ∈ \cal A )
H3   für jede Folge ( Ai )i = 1, 2, 3, … mit Ai ∈ \cal A ist auch ∪i Ai ∈ \cal A
H4   ∀ A ∈ \cal A ( p ( Ω | A ) = 1 )
H5   ∀ A, B ∈ \cal A ( p ( A | B ) + p ( A c | B ) = 1 )
H6   ∀ A, B, C ∈ \cal A ( p ( A ∪ B | C ) = p ( A | C ) ⋅ p ( B | A ∪ C ) = p ( B | C ) ⋅ p ( A | B ∪ C ) )

Modelle
x ist ein Wahrscheinlichkeitsraum gdw es Mengen Ω, \cal A, p gibt, so dass gilt:

x = 〈 Ω, [ 0, 1 ], \cal A, p

und die Relation \cal A und die Funktion p haben die Typen θ1 und θ2 und die Hypothesen H1 ( Ω, [ 0, 1 ], \cal A, p ), …, H6 ( Ω, [ 0, 1 ], \cal A, p )) gelten in x.

I(WFT) ist die Menge der intendierten Systeme.

Beispiele
– Würfelwürfe
– Münzwürfe
– Kartenspiele
– Börsenprogramme