{"id":166,"date":"2017-05-28T14:45:54","date_gmt":"2017-05-28T12:45:54","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=166"},"modified":"2021-02-02T17:47:28","modified_gmt":"2021-02-02T16:47:28","slug":"uebung-02-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-01\/","title":{"rendered":"\u00dc2-1: Komponenten und Listen"},"content":{"rendered":"\n

Ein Ausdruck oder eine Liste kann mehrere Komponenten<\/em> haben. Zum Beispiel kann ein Ausdruck sowohl rationale als auch emotionale Komponenten haben: Peter mag Uta weil sie sch\u00f6n und reich ist.
Eine Liste<\/em> besteht aus Komponenten. Zum Beispiel enth\u00e4lt die Liste [ a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, d <\/em>] vier Komponenten, n\u00e4mlich a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> und d<\/em>.
Eine Menge<\/em> ist eine Gesamtheit von Elementen<\/em>. In der Mengenlehre werden Paare von Mengen<\/em> auf folgende Weise gebildet. Zwei Mengen x<\/em> und y<\/em> werden mit Mengenklammern<\/em> umgeben: { x <\/em>} und { y <\/em>}. { x <\/em>} und { y <\/em>} sind ebenfalls Mengen, sie enthalten jeweils nur ein einziges Element. Diese ein-elementigen Mengen werden nun noch einmal mit Mengenklammern in der folgenden Weise umgeben:<\/p>\n\n\n\n

{ x<\/em>, { y <\/em>} }.<\/p>\n\n\n\n

Dieser Ausdruck enth\u00e4lt neben Mengenklammern und Symbolen f\u00fcr Mengen zus\u00e4tzlich das Komma \u00ab<\/em>,\u00bb, welches eine zentrale Funktion hat.
Das Komma trennt die zwei Mengen x<\/em> und { y <\/em>}, welche als Elemente in der Gesamtmenge { x, { y <\/em>} } vorhanden sind.
Dieses Gebilde { x<\/em>, { y <\/em>} } wird in der Mengenlehre als<\/p>\n\n\n\n

das Paar der Mengen x und y<\/em> bezeichnet<\/p>\n\n\n\n

und es wird so abgek\u00fcrzt: \u2329 x<\/em>, y <\/em>\u232a oder [ x<\/em>, y <\/em>].<\/p>\n\n\n\n

Diese Konstruktion l\u00e4sst sich beliebig oft wiederholen.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Bilden Sie aus drei Mengen x<\/em>, y<\/em>, z<\/em> erst das Paar \u2329 x<\/em>, y <\/em>\u232a und dann das Paar \u2329 \u2329 x<\/em>, y <\/em>\u232a, \u2329 z <\/em>\u232a \u232a.<\/p>\n\n\n\n

Auf diese Weise werden Listen konstruktiv erzeugt. Dieses Verfahren wird auch in der Programmierung von Computern als Standard verwendet.
F\u00fcr Menschen ist es zweckm\u00e4\u00dfig, so viele Klammern wie m\u00f6glich zu entfernen. Der Sinn muss dabei aber noch eindeutig erhalten bleiben.
Aus n<\/em> Mengen x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n<\/sub> wird induktiv<\/em> (\u00ab<\/em>vom Speziellen auf das Allgemeine schlie\u00dfend\u00bb) eine Liste \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n <\/sub>\u232a durch folgende Regeln erzeugt:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

\n
\u3008 x<\/em>1 <\/sub>\u3009 ist eine Liste.<\/td>(R1)<\/td><\/tr>
Wenn \u3008 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m <\/sub>\u3009 eine Liste von x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m<\/sub> Mengen ist und m<\/em> < n<\/em> ist,
dann ist auch \u3008 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m<\/sub>, x<\/em>m+1 <\/sub>\u3009 eine Liste von x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m+1<\/sub> Mengen.<\/td>		(R2)<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

b)<\/strong> Vervollst\u00e4ndigen Sie diese induktive Definition, in dem Sie eingesparte Klammern an den richtigen Stellen einf\u00fcgen.<\/p>\n\n\n\n

Spitze Klammern \u00ab<\/em>\u2329 \u232a\u00bb werden meist in logischen und mengentheoretischen Texten verwendet: \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n <\/sub>\u232a, w\u00e4hrend in der Informatik und in vielen mathematischen Texten die \u00abnormale\u00bb Listenschreibweise verwendet wird: [ x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n <\/sub>].
Wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, dass eine Menge x<\/em> die Form einer Liste hat, d.h. x<\/em> = \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n <\/sub>\u232a, wird oft gesagt, dass x<\/em> – also eine Menge – \u00abKomponenten hat<\/em>\u00bb oder \u00abn<\/em> Komponenten hat<\/em>\u00bb oder \u00abxi<\/sub> eine Komponente von x ist<\/em>\u00bb oder \u00abxi<\/sub><\/em> die i-te Komponente von x ist<\/em>\u00bb.
Der Zwischenschritt, in dem die Menge zun\u00e4chst mit einer Liste gleichgesetzt wird, fehlt in solchen Formulierungen, weil die Leser diese Identit\u00e4t sofort erkennen.
Zwei Listen \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xm <\/sub><\/em>\u232a und \u2329 y<\/em>1<\/sub>, …, y<\/em>n <\/sub>\u232a lassen sich zusammenf\u00fcgen<\/em> (konkatenieren<\/em>):<\/p>\n\n\n\n

\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xm <\/sub><\/em>\u232a \"$\circ$\" \u2329 y<\/em>1<\/sub>, …, y<\/em>n <\/sub>\u232a = \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m<\/sub>, y<\/em>1<\/sub>, …, y<\/em>n <\/sub>\u232a<\/p>\n\n\n\n

Die Beziehung des Zusammenf\u00fcgens \"$\circ$\" werden wir in weiteren \u00dcbungen noch genauer kennenlernen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Definieren Sie die Konkatenation von zwei Listen. Hilfestellung: Beginnen Sie induktiv mit \u2329 y<\/em>1 <\/sub>\u232a und f\u00fcgen Sie y<\/em>1<\/sub> zur Liste \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>m <\/sub>\u232a hinzu.
<\/p>\n\n\n