{"id":168,"date":"2017-05-28T14:46:12","date_gmt":"2017-05-28T12:46:12","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=168"},"modified":"2021-02-02T21:55:39","modified_gmt":"2021-02-02T20:55:39","slug":"uebung-02-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-02\/","title":{"rendered":"\u00dc2-2: Mengen, Elemente, Paare und kartesische Produkte"},"content":{"rendered":"\n

Eine Menge<\/em> ist eine Gesamtheit von Elementen<\/em>. Eine Menge kann endlich viele oder unendlich viele Elemente besitzen. Eine Menge kann auch leer sein; in diesem Fall enth\u00e4lt sie gar kein Element. Die leere Menge wird mit dem Symbol \"\emptyset\" bezeichnet.
Die Elemente aus einer Menge werden entweder beschrieben, indem jedes Element einen Namen bekommt. Oder es gibt f\u00fcr die jeweilige Menge eine Eigenschaft, die f\u00fcr alle Elemente der Menge zutrifft.
Eine endliche, durch Namen beschriebene Menge wird so dargestellt:<\/p>\n\n\n\n

{ Name<\/em>1<\/sub>, …, Name<\/em>n<\/sub> },<\/p>\n\n\n\n

wobei Name<\/em>1<\/sub>, …, Name<\/em>n<\/sub> Namen sind.
Zum Beispiel ist { Nordpol<\/em>, Napoleon<\/em>, 2 } eine Menge bestehend aus drei Elementen. Nordpol<\/em> wird hier als Name f\u00fcr den n\u00f6rdlichsten Punkt der Erde verwendet. Napoleon<\/em> ist der Name f\u00fcr eine historische Gestalt, die fast jeder kennt. 2 ist ein Symbol, welches den Begriff \u00abzwei\u00bb ausdr\u00fcckt. 2 ist eindeutig bestimmt, so dass 2 auch als ein Name verwendet werden kann.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Bilden Sie drei endliche Mengen mit Hilfe von echten Namen.<\/p>\n\n\n\n

Eine Eigenschaft E<\/em> trifft auf ein Objekt x<\/em> zu oder nicht zu. Wenn die Eigenschaft E<\/em> auf das Objekt x<\/em> zutrifft, wird dies so abgek\u00fcrzt: E <\/em>( x <\/em>).
Eine durch eine Eigenschaft E<\/em> beschriebene Menge wird meistens so geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

{ x<\/em> \/ E <\/em>( x <\/em>) }<\/p>\n\n\n\n

\u00abdie Menge, die genau aus den Elementen x<\/em> besteht, welche die Eigenschaft E <\/em>( x <\/em>) haben\u00bb<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Bilden Sie drei Mengen, bei denen ihre Anzahlen unklar bleiben.<\/p>\n\n\n\n

In der \u00abreinen\u00bb Mengenlehre sind auch alle Elemente aus Mengen wieder Mengen. Dies klingt zun\u00e4chst merkw\u00fcrdig und auch der so beschriebene Inhalt ist gew\u00f6hnungsbed\u00fcrftig. In einer in der Literatur nicht oft diskutierten Variante, werden sogenannte Urelemente<\/em> zugelassen, aus denen alle Mengen aufgebaut sind.
In empirischen Anwendungen werden normalerweise Elemente von Mengen klar unterschieden.<\/p>\n\n\n\n

Wir gehen von zwei Mengen aus, die wir mit A<\/em> und B<\/em> bezeichnen. Die Elemente aus A<\/em> nennen wir a<\/em> oder a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, …, a<\/em>m<\/sub> und die Elemente aus B<\/em> nennen wir b<\/em> oder b<\/em>1<\/sub>, b<\/em>2<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em>.
In Standardnotation schreiben wir:<\/p>\n\n\n\n

a<\/em> \u2208 A<\/em> soll hei\u00dfen: a<\/em> ist ein Element der Menge A<\/em>.
A<\/em> \u2282 B<\/em> soll hei\u00dfen: Menge A<\/em> ist eine echte Teilmenge<\/em> von B<\/em>.
A<\/em> \u2286 B <\/em>soll hei\u00dfen: Menge A<\/em> ist eine Teilmenge<\/em> von B<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> K\u00f6nnen Sie den Begriff der Teilmenge durch den Begriff \u00ab\u2208\u00bb des Enthaltenseins definieren?<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Beschreiben Sie in anderen Worten den Unterschied zwischen einer Teilmenge und einer echten Teilmenge. Hinweis: es fehlt in A<\/em> im ersten Fall ein Element.<\/p>\n\n\n\n

Wenn zwei Mengen A<\/em> und B<\/em> gegeben sind, wird ein „Paar von Elementen“ meistens so geschrieben<\/p>\n\n\n\n

\u2329 a<\/em>, b<\/em> \u232a oder [ a<\/em>, b<\/em> ],<\/p>\n\n\n\n

wobei a<\/em> ein Element der Menge A<\/em> und b<\/em> ein Element der Menge B<\/em> ist, kurz: a<\/em> \u2208 A<\/em> und b<\/em> \u2208 B<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Verallgemeinern Sie den Begriff des Paares, so dass n<\/em> Elemente zu einem sogenannten n<\/em>–Tupel<\/em> (oder zu einer Liste<\/em> mit n<\/em> Komponenten) zusammengefasst werden.<\/p>\n\n\n\n

Die Menge aller Paare von Elementen aus A und B<\/em> l\u00e4sst sich in zwei Weisen darstellen \u2014 je nachdem, ob die Mengen endlich und durch Namen oder durch zwei Eigenschaften E A<\/sup><\/em> und E B<\/sup><\/em> beschrieben werden.
Im ersten Fall besteht die Menge A<\/em> aus den Elementen a<\/em>1<\/sub>, …, am <\/sub><\/em>: A<\/em> = { a<\/em>1<\/sub>, …, a<\/em>m<\/sub>} und die Menge B<\/em> aus den Elementen b<\/em>1<\/sub>, …, bn <\/sub><\/em>: B<\/em> = { b<\/em>1<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em> }. Die Menge aller Paare von Elementen aus A<\/em> und B<\/em> wird so definiert:<\/p>\n\n\n\n

{ \u2329 a<\/em>1<\/sub>, b<\/em>1<\/sub> \u232a,  \u2329 a<\/em>1<\/sub>, b<\/em>2<\/sub> \u232a, …, \u2329 a<\/em>2<\/sub>, b<\/em>1<\/sub> \u232a, \u2329 a<\/em>2<\/sub>, b<\/em>2<\/sub> \u232a, …, \u2329 am<\/sub><\/em>, b<\/em>1<\/sub> \u232a, …, \u2329 am<\/sub><\/em>, bn<\/sub><\/em> \u232a }.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Schreiben Sie alle<\/em> Paare aus den Mengen { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>3<\/sub> } und { b<\/em>1<\/sub>, b<\/em>2<\/sub>, b<\/em>3<\/sub>, b<\/em>4<\/sub> } in Matrixform explizit hin.<\/p>\n\n\n\n

Im zweiten Fall werden die Elemente aus A<\/em> durch die Eigenschaft E A<\/sup><\/em> und die Elemente aus B<\/em> durch die Eigenschaft E B<\/sup><\/em> beschrieben: A<\/em> = { x<\/em> \/ E A <\/sup><\/em>( x <\/em>) } und B<\/em> = { y<\/em> \/ E B <\/sup><\/em>( y <\/em>) }.
Die Menge der Paare hat dann die Form:<\/p>\n\n\n\n

{ \u2329 x<\/em>, y<\/em> \u232a \/ E A <\/sup><\/em>( x <\/em>) und E B <\/sup><\/em>( y <\/em>) }.<\/p>\n\n\n\n

Hier funktionieren die Symbole x<\/em> und y<\/em> als Variable<\/em>. Variable<\/em> sind Platzhalter f\u00fcr Symbole, die eine Bedeutung haben. Dabei muss ein mehr oder weniger klar umgrenzter Bereich angegeben sein, aus dem die Symbole stammen. In dieser \u00dcbung l\u00e4uft die Variable x<\/em> \u00fcber die Elemente aus A<\/em> und die Variable y<\/em> \u00fcber die Elemente aus B<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

g)<\/strong> Bilden Sie die Menge E A<\/sup><\/em> der weiblichen Personen und die Menge E B<\/sup><\/em> der m\u00e4nnlichen Personen und bilden Sie 4 Paare. Welche Variablen verwenden Sie dabei?<\/p>\n\n\n\n

Aus zwei Mengen A<\/em> und B<\/em> wird das kartesische Produkt von A und B <\/em>gebildet. Das kartesische Produkt von A<\/em> und B<\/em> ist die Menge aller Paare \u2329 x<\/em>, y<\/em> \u232a, bei denen x<\/em> ein Element aus A<\/em> und y<\/em> ein Element aus B<\/em> ist. Auch hier sind x<\/em> und y<\/em> Variable f\u00fcr Elemente aus den Mengen A<\/em> und B<\/em>.
Das kartesische Produkt aus A<\/em> und B<\/em> wird abgek\u00fcrzt durch:<\/p>\n\n\n\n

A<\/em> \"\times\" B<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Kartesische Produkte k\u00f6nnen mehrfach gebildet werden. Aus A<\/em> und B<\/em> wird A<\/em> \"\times\" B<\/em> gebildet. In einem n\u00e4chsten Schritt wird aus A<\/em> \"\times\" B<\/em> und der Menge C<\/em> das kartesische Produkt A<\/em> \"\times\" B<\/em> \"\times\" C<\/em> gebildet. Und so weiter. Wenn aus n<\/em> Mengen A1<\/sub><\/em>, …, An<\/sub><\/em> ein kartesisches Produkt gebildet wurde, wird das kartesische Produkt wie folgt geschrieben.<\/p>\n\n\n\n

A<\/em>1<\/sub> \"\times\" … \"\times\" An<\/sub><\/em> oder noch k\u00fcrzer \u03a0i<\/em> \u2264 n<\/em><\/sub> Ai<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Auch das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst kann gebildet werden: A<\/em> \"\times\" A<\/em>. Wenn dies n<\/em> Mal gemacht wird, wird das kartesische Produkt oft so abgek\u00fcrzt: A n<\/sup><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

h)<\/strong> Verwenden Sie die Menge { p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub>, p<\/em>4<\/sub> } aus vier Partikel und die Menge \"\mathbb{R}\" der reellen Zahlen und bilden das kartesische Produkt dieser beiden Mengen. Interpretieren Sie die Paare und das kartesische Produkt.<\/p>\n\n\n\n

i)<\/strong> Verwenden Sie die Menge \"\mathbb{N}\" der nat\u00fcrlichen Zahlen und die Menge \"\mathbb{R}\" der reellen Zahlen und bilden das kartesische Produkt der nat\u00fcrlichen und reellen Zahlen.<\/p>\n\n\n\n

j)<\/strong> Bilden Sie das dreifache kartesische Produkt der nat\u00fcrlichen Zahlen.
<\/p>\n\n\n