{"id":170,"date":"2017-05-28T14:46:29","date_gmt":"2017-05-28T12:46:29","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=170"},"modified":"2021-02-02T21:56:30","modified_gmt":"2021-02-02T20:56:30","slug":"uebung-02-03","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-03\/","title":{"rendered":"\u00dc2-3: Mengenabstraktion"},"content":{"rendered":"\n

Durch das Verfahren der Mengenabstraktion wird eine Menge verschiedener Objekte, Sachverhalte oder Ereignisse sprachlich und gedanklich zusammengefasst. Genauer steht eine Personen vor vielen verschiedenen Objekten, Sachverhalten oder Ereignissen. Einige davon haben eine bestimmte Eigenschaft, die die restlichen Entit\u00e4ten nicht haben. Genau diese Entit\u00e4ten werden zu einer Einheit zusammengefasst. Ein Name f\u00fcr diese Gesamtheit wird eingef\u00fchrt. Damit wurde eine neue Menge \u00aberzeugt\u00bb.
Die Beschreibung der fraglichen Eigenschaft wird in nat\u00fcrlicher Sprache normalerweise durch ein Adjektiv ausgedr\u00fcckt. Zum Beispiel k\u00f6nnen alle Objekte, welche die Farbe \u00abRot\u00bb haben, zur Menge der roten Objekte zusammengefasst werden.
In normaler Sprache lassen sich auch speziellere Eigenschaften formulieren, wobei ein Substantiv mit einem Teilsatz verbunden wird. Zum Beispiel \u00abPeter, der viel isst, schwer ist und normale K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe hat, geht nach Hause\u00bb dr\u00fcckt eine \u00abvielschichtige\u00bb Eigenschaft durch den Teilsatz \u00abder viel isst, schwer ist und normale K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe hat\u00bb aus.
Durch die Mengenlehre l\u00e4sst sich dieses Verfahren ohne Grenzen weiter f\u00fchren. In der Mengenlehre kann eine Eigenschaft durch viele S\u00e4tze konjunktiv zusammengef\u00fcgt und beschrieben werden. Dabei muss nur sicher gestellt sein, dass in allen diesen S\u00e4tzen ein und dieselbe freie Variable zu finden ist. Genauer, sind diese S\u00e4tze eigentliche keine richtigen S\u00e4tze, sondern Formeln, die aus S\u00e4tzen entstanden, in dem ein Name – eventuell an mehreren Stellen – durch dieselbe Variable ersetzt wurde. Diese Formeln werden zusammengefasst und abgek\u00fcrzt durch E <\/em>( x <\/em>). Mit dieser Formel wird nun die zugeh\u00f6rige Menge gebildet, die in folgender Form geschrieben wird:<\/p>\n\n\n\n

{ x<\/em> \/ E <\/em>( x <\/em>) }.<\/p>\n\n\n\n

Wenn die Menge einen Namen \"\cal N\" bekommen hat, wird geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

\"\cal N\" = { x<\/em> \/ E <\/em>( x <\/em>) }.<\/p>\n\n\n\n

Es wird gesagt, dass \"\cal N\" die Menge alle x ist<\/em>, welche die <\/em>Eigenschaft E hat<\/em>.
Zum Beispiel kann der Satz E <\/em>( a <\/em>) folgendes besagen. a<\/em> ist ein Name f\u00fcr ein ganz bestimmtes Netz. Jeder wei\u00df, dass es viele verschiedene Netze gibt. Daher kann man sich eine Eigenschaft zurecht legen, welche f\u00fcr all diese Netze zutrifft. Durch Abstraktion wird der Name a<\/em> durch eine Variable x<\/em> ersetzt, eine Formel E <\/em>( x <\/em>) wird gedanklich gebildet oder auch explizit beschrieben. Diese Formel E <\/em>( x <\/em>) kann im Beispiel zur Definition einer Menge \"\cal N\" von Netzen verwendet werden:<\/p>\n\n\n\n

\"\cal N\" = { x<\/em> \/ E <\/em>( x <\/em>) }.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Abstrahieren Sie aus dem Bereich alle gr\u00f6\u00dferen, materiellen Objekte die Menge der Planeten. Formulieren Sie dazu eine Eigenschaft, die ein Planet hat, aber ein anderes Objekt nicht.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Jeder kennt Paare von Personen, die verheiratet sind. Abstrahieren Sie aus allen Personenpaaren genau die Paare, die verheiratet sind. Formulieren Sie eine Eigenschaft, welche die fragliche Beziehung mit normaler Sprache ausdr\u00fcckt. Versuchen Sie, diese Beziehung auch mengentheoretisch zu formulieren.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Abstrahieren Sie aus dem Bereich der nat\u00fcrlichen Zahlen alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind und bilden Sie ein neue Menge, welche gerade diese Zahlen enth\u00e4lt. Die Bezeichnung f\u00fcr diese Menge sollte jeder Leser kennen.
<\/p>\n\n\n