{"id":182,"date":"2017-05-28T14:48:33","date_gmt":"2017-05-28T12:48:33","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=182"},"modified":"2021-02-06T10:48:38","modified_gmt":"2021-02-06T09:48:38","slug":"uebung-02-09","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-09\/","title":{"rendered":"\u00dc2-9: Variable, Menge und Durchschnitte von Mengen"},"content":{"rendered":"\n

Ein Symbol<\/em> kann f\u00fcr alles stehen, was in der Schriftsprache \u2014 einschlie\u00dflich logischer, mathematischer und informationstechnischer Texte \u2014 verwendet wird. Insbesondere kann ein Symbol ein Wort sein; es kann auch ein Name sein.
Variable<\/em> sind Platzhalter f\u00fcr Symbole, die eine Bedeutung haben, wobei ein mehr oder weniger klar umgrenzter Bereich angegeben sein muss, aus dem die Symbole und die Bedeutungen stammen.
Der wichtigste Bereich, der in diesem Buch diskutiert wird, ist der Bereich der Mengen selbst. Das hei\u00dft, eine Variable kann ein Platzhalter f\u00fcr Symbole f\u00fcr Mengen sein. Mengen werden meistens variabel durch Symbole wie x<\/em>, y<\/em>, z<\/em>, u<\/em>, v<\/em>, w<\/em>, X<\/em>, Y<\/em>, Z<\/em> auch mit Indizes x<\/em>i<\/sub>, xn<\/sub><\/em>, xj<\/sub><\/em>, x j<\/sup><\/em>, xi<\/sub>  j<\/sup><\/em>, …,  Y<\/em>1<\/sub>, Y  i<\/sup><\/em>, Yj<\/sub><\/em>, …, beschrieben.
Nehmen wir zum Beispiel als Bereich eine Menge von Namen Name1<\/sub>, …, Namem<\/sub><\/em> und als Variable das Symbol x<\/em>. Wenn im Kontext \u00fcber eine Person gesprochen wird, kann x<\/em> f\u00fcr irgendeinen Namen Namei<\/sub><\/em> stehen. x<\/em> ist ein Platzhalter f\u00fcr einer der Namen Name1<\/sub><\/em>, …, Namem<\/sub><\/em>.
Eine endliche, nicht interpretierte Menge wird wie folgt geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> }.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Dabei bezeichnen in diesem Kontext die Symbole x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> Variable. { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } besagt erstens, dass es sich um eine Menge handelt, zweitens dass sie n<\/em> Entit\u00e4ten enth\u00e4lt und drittens, dass es sich um einen bestimmten Bereich B<\/em> von Entit\u00e4ten (Ereignisse, Dinge, Sachverhalte) handelt. Alle Variable laufen \u00fcber Entit\u00e4ten aus diesem Bereich. Z.B. l\u00e4uft xi<\/sub><\/em> \u00fcber Dinge im Bereich B<\/em>. Je nach Anwendung wird der Bereich B<\/em> anders interpretiert.
Alle Variablen, die in { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } zu sehen sind, k\u00f6nnen durch Namen ersetzt werden. Aus { x<\/em>1<\/sub>, …, x6<\/sub><\/em> } wird zum Beispiel
{ Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>3<\/sub>, Name<\/em>4<\/sub>, Name<\/em>5<\/sub>, Name<\/em>6 <\/sub>} oder { Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>5<\/sub>, Name<\/em>3<\/sub>, Name<\/em>4<\/sub>, Name<\/em>6 <\/sub>}
oder aber auch { Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>5<\/sub>, Name<\/em>6<\/sub>, Name<\/em>4<\/sub>, Name<\/em>6 <\/sub>} oder { Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>3<\/sub> }.
In den beiden letzten F\u00e4llen werden mehrere Variable durch denselben Namen ersetzt.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Nehmen Sie drei Namen und bilden Sie mit diesen Namen drei Mengen, die jeweils alle drei Namen enthalten.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Beweise Sie, dass alle drei Mengen dieselben Elemente enthalten. Hinweis: jedes Element der ersten Menge muss auch in der zweiten liegen, und umgekehrt.<\/p>\n\n\n\n

Aus zwei Mengen x<\/em> und y<\/em> l\u00e4sst sich immer deren Durchschnitt<\/em> bilden. Der Durchschnitt enth\u00e4lt genau diejenigen Elemente, die in beiden<\/em> Mengen liegen. Der Durchschnitt von x<\/em> und y<\/em> wird so geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

x<\/em> \u2229 y<\/em>.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Wenn z. B. zwei endliche Mengen { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } und { y<\/em>1<\/sub>, …, ym<\/sub><\/em> } gegeben sind, ist der Durchschnitt<\/em> von { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } und { y<\/em>1<\/sub>, …, ym<\/sub><\/em> }:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } \u2229 { y<\/em>1<\/sub>, …, ym<\/sub><\/em> }.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Welche Elemente in diesen beiden Mengen gleich sind, ist aber in dieser Form nicht ersichtlich.
Dies l\u00e4sst sich nur erkennen, wenn entweder die Elemente der Mengen durch Namen ersetzt werden oder wenn Eigenschaften der Elemente bekannt sind und verwendet werden.<\/p>\n\n\n\n

Mit Namen l\u00e4sst sich der Durchschnitt genau beschreiben. Zum Beispiel
{ Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>3<\/sub>, Name<\/em>4<\/sub>, Name<\/em>5<\/sub>, Name<\/em>6 <\/sub>} \u2229 { Name<\/em>7<\/sub>, Name<\/em>8<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>9<\/sub>, Name<\/em>1<\/sub>, Name10<\/sub>, Name11<\/sub><\/em> } = { Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub> }<\/p>\n\n\n\n

Seien Name<\/em>1<\/sub>, Name<\/em>2<\/sub>, Name<\/em>3<\/sub>, Name<\/em>4<\/sub>, Name<\/em>5<\/sub>, Name<\/em>6<\/sub>, Name<\/em>7<\/sub>, Name<\/em>8<\/sub>, Name<\/em>9<\/sub>, Name<\/em>10<\/sub>, Name<\/em>12<\/sub>, Name<\/em>13<\/sub>, Name<\/em>14<\/sub>, Name<\/em>15<\/sub>, Name<\/em>16<\/sub>, Name<\/em>17<\/sub>, Name<\/em>18<\/sub>, Name<\/em>19<\/sub>, Name<\/em>20<\/sub>, Name<\/em>21<\/sub>, Name<\/em>22<\/sub>, Name<\/em>23<\/sub>, Name<\/em>25<\/sub>, Name<\/em>26<\/sub> Namen f\u00fcr bestimmte Mengen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Nehmen Sie 8 Namen aus dieser Liste, bilden Sie zwei Mengen A<\/em> und B<\/em>, die zusammen alle 8 Namen enthalten. Bilden Sie den Durchschnitt beider Mengen. Wie viele Elemente finden Sie in Ihrem Durchschnitt?<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Enth\u00e4lt der in c) gebildete Durchschnitt A<\/em> \u2229 B<\/em> dieselben Elemente wie der Durchschnitt B<\/em> \u2229 A<\/em>?<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Bilden Sie eine dritte Menge C<\/em> aus den Liste der Namen und bilden den Durchschnitt von A<\/em> \u2229 B<\/em> und C<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Erhalten Sie, wenn Sie den Durchschnitt in e) in anderer Reihenfolge bilden, denselben Durchschnitt?
<\/p>\n\n\n