{"id":184,"date":"2017-05-28T14:48:50","date_gmt":"2017-05-28T12:48:50","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=184"},"modified":"2019-03-17T08:15:33","modified_gmt":"2019-03-17T07:15:33","slug":"uebung-02-10","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-10\/","title":{"rendered":"\u00dc2-10: Relationen, Funktionen und Konkatenation"},"content":{"rendered":"

Eine Relation<\/em> ist eine mengentheoretische Beziehung zwischen Elementen von zwei oder mehr Mengen. Eine Relation wird dabei als eine Menge von Listen (\u00abn<\/em>-Tupeln\u00bb) beschrieben.<\/p>\n

Genauer m\u00fcssen n<\/em> ( n<\/em> > 0 ) Mengen A<\/em>1<\/sub>, …, An<\/sub><\/em> bereit stehen. Mit diesen Mengen wird ein kartesisches Produkt gebildet, welches abgek\u00fcrzt oft wie folgt geschrieben wird:<\/p>\n

\u03a0i <\/em>\u2264 n<\/em><\/sub> Ai<\/sub><\/em>.<\/p>\n

Die Elemente x<\/em> aus dem kartesischen Produkt haben die Form<\/p>\n

x =\u00a0\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> \u232a,<\/p>\n

wobei x<\/em>1<\/sub> ein Element aus A1<\/sub><\/em> und … und xn<\/sub><\/em> ein Element aus An<\/sub><\/em> ist, kurz:<\/p>\n

x<\/em>1<\/sub>\u00a0\u2208 A1<\/sub><\/em> und … und\u00a0xn<\/sub><\/em>\u00a0\u2208 An<\/sub><\/em><\/p>\n

oder noch k\u00fcrzer:<\/p>\n

x1<\/sub>\u00a0\u2208 A1<\/sub><\/em>\u00a0\u2227 …\u00a0\u2227 xn<\/sub><\/em>\u00a0\u2208 An<\/sub><\/em>.<\/p>\n

Eine Relation R<\/em> ist eine Menge folgender Art:<\/p>\n

R<\/em>\u00a0\u2286\u00a0\u03a0i <\/em>\u2264 n<\/em><\/sub> Ai<\/sub><\/em> oder genauer:<\/p>\n

R<\/em>\u00a0\u2286 {\u00a0\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> \u232a \/\u00a0x<\/em>1<\/sub>\u00a0\u2208 A1<\/sub><\/em>\u00a0\u2227 …\u00a0\u2227 xn<\/sub><\/em>\u00a0\u2208 An<\/sub><\/em> }.<\/p>\n

Mit anderen Worten ist eine Relation also ein Menge von Listen, so dass jedes Element aus der Liste aus genau n<\/em> Komponenten besteht, die aus den verschiedenen „Grundmengen“\u00a0A<\/em>1<\/sub>, …, An<\/sub><\/em> stammen.<\/p>\n

Bei einer Relation wird\u00a0\u2014 wenn n\u00f6tig\u00a0\u2014 die Anzahl n<\/em> der Mengen genauer spezifiziert, die bei der Konstruktion eingesetzt werden. In einem solchen Fall wird von einer n<\/em>–stelligen<\/em> Relation gesprochen.<\/p>\n

Die 2-stelligen Relationen werden am h\u00e4ufigsten verwendet. Zwei weitere F\u00e4lle betreffen 1-stellige und 0-stellige Relationen.
\nEine 1-stellige Relation dr\u00fcckt eine Eigenschaft aus.
\nBeispiel: Die einzige zur Konstruktion eingesetzte Menge ist die Menge A<\/em>1<\/sub>.
\nIn diesem Fall wird auch der Index nicht ben\u00f6tigt. Statt\u00a0A<\/em>1<\/sub> wird einfach A<\/em> geschrieben.<\/p>\n

Nehmen wir A<\/em> als die Menge der materiellen Objekte normaler Gr\u00f6\u00dfe und Konsistenz. Die Eigenschaft rot<\/em> kann dann durch die Menge R<\/em> der roten Objekte umschrieben werden.
\nR<\/em> = { x<\/em> \/ x<\/em> ist rot<\/em> }, und R<\/em>\u00a0\u2282 A<\/em>. Anders gesagt ist jedes Element x<\/em>, welches die Eigenschaft hat, rot<\/em> zu sein ( x<\/em>\u00a0\u2208 R<\/em> ), auch ein Element der Menge der Objekte.
\nEine 0-stellige Relation R<\/em> wird als eine Konstante<\/em> bezeichnet. Als Menge l\u00e4sst sich R<\/em> am einfachsten durch eine ein-elementige Menge darstellen, z.B. R<\/em> = { a<\/em> }, wobei a<\/em> ein Name oder eine Bezeichnung einer gut identifizierbaren Entit\u00e4t ist. Inhaltlich wird dabei der Name f\u00fcr die Konstante mit dem Namen der Menge R<\/em> und mit dem Inhalt der Menge von { a<\/em> } gleichgesetzt.
\nBeispiel: Die Gravitationskonstante in der Mechanik wird durch eine reelle Zahl: 6,374… bezeichnet. Mengentheoretisch wird diese Zahl in Mengenklammern gesetzt und als Menge in wissenschaftstheoretischem Kontext als Konstante verwendet.<\/p>\n

a)<\/strong> Dr\u00fccken Sie die Beziehung \u00absp\u00e4ter als\u00bb durch eine mengentheoretische Relation aus. Nehmen Sie dazu eine Menge Z<\/em> von Zeitpunkten und bilden eine 2-stellige Relation \u00fcber dieser Menge.<\/p>\n

b)<\/strong> Stellen Sie die geometrische Beziehung \u00abzwischen\u00bb mengentheoretisch durch eine dreistellige Relation zw<\/em> dar. Formulieren Sie drei einfache S\u00e4tze, die neben logischen Operatoren und Klammern nur die Relation zw<\/em> und die Grundmenge P<\/em> der geometrischen Punkte enthalten.<\/p>\n

c)<\/strong> Bei einem Warenaustausch werden zwei Personen, zwei Warenarten und zwei Quantit\u00e4ten dieser Warenarten in eine Beziehung gesetzt: \u00abes wird getauscht\u00bb. Beschreiben Sie einen Wochenmarkt in einer kleinen Stadt, indem sie folgende Mengen spezifizieren: Menge der Marktteilnehmer, Menge der in diesem Markt tauschbaren Warenarten, Menge der Quantit\u00e4ten von Waren. Formulieren Sie das kartesische Produkt dieser Mengen und beschreiben ein Element dieses Produktes inhaltlich in normaler Sprache. Versuchen Sie eine Tauschbeziehung bildlich zu fassen, wobei Sie die zwei Quantit\u00e4ten der Waren, die getauscht werden, variieren sollten. D.h. versuchen Sie drei verschiedene T\u00e4usche in demselben Bild darzustellen.<\/p>\n

Mengentheoretisch betrachtet ist eine Funktion<\/em> f<\/em> eine Relation, die zus\u00e4tzlich zwei Bedingungen erf\u00fcllt. Um diese Bedingungen genauer zu formulieren, muss die Stellenzahl der Relation spezifiziert werden.<\/p>\n

Wenn die Relation f<\/em> 2-stellig ist, hat f<\/em> die Form f<\/em>\u00a0\u00a0\u2282 A<\/em>\u00a0\u00d7 W<\/em>. Diese Funktion wird aber nicht in Teilmengenform geschrieben, sondern so:<\/p>\n

f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 W<\/em>.<\/p>\n

Die Menge A<\/em> wird Argumentbereich<\/em> (englisch: domain<\/em>) von f<\/em> und W<\/em> der Wertebereich<\/em> (englisch: range<\/em>) von f<\/em> genannt.<\/p>\n

Ein Element der Funktion f<\/em>\u00a0 hat die Form\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a, wobei a<\/em> als das Argument<\/em> von f<\/em> und w<\/em> der Funktionswert<\/em> (oder oft auch einfach der Wert<\/em>) von f<\/em>\u00a0 bezeichnet wird. Das Element\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a wird bei Funktionen meistens so geschrieben:<\/p>\n

f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em>.<\/p>\n

Folgende Formulierungen werden oft verwendet.<\/p>\n\n\n\n\n\n
<\/td>\n–\u00a0 f ordnet dem Argument a den Wert w zu<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n– dem Argument a wird durch die Funktion f der Wert w zugeordnet<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\n– f bildet a in w ab<\/em>.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die beiden Bedingungen f\u00fcr die Funktion f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 W<\/em> lauten wie folgt:
\nF\u00fcr jedes Argument a<\/em> aus A<\/em> gibt es einen Funktionswert<\/p>\n\n\n\n\n
<\/td>\nw<\/em> aus W<\/em>, so dass f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em>.<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nKurz:\u00a0\u2200 a<\/em>\u00a0\u2208 A<\/em>\u00a0\u2203 w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em> ( f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em> ).<\/td>\n(F1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

F\u00fcr jedes Argument a<\/em> und f\u00fcr alle Funktionswerte<\/p>\n\n\n\n\n
<\/td>\nw<\/em> und w <\/em>‚ gilt:<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
<\/td>\nwenn f <\/em>( a<\/em> ) = w und f<\/em> ( a<\/em> ) = w <\/em>‚, dann ist w<\/em> = w <\/em>‚.<\/td>\n(F2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Kurz:\u00a0\u2200 a<\/em>\u00a0\u2208 A<\/em>\u00a0\u2200 w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em>\u00a0\u2200 w <\/em>‚\u00a0\u2208 W<\/em> ( f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em>\u00a0\u2227 f<\/em> ( a<\/em> ) = w <\/em>‚\u00a0\u2192 w<\/em> = w <\/em>‚ )<\/p>\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie ein Rechteck, welches mit quadratischen Boxen gef\u00fcllt ist, und einen Kreis, welcher mit kleinen Dreiecken gef\u00fcllt ist. Zeichnen Sie f\u00fcr jede Box einen Pfeil von der Box zu einem Dreieck. Gibt es nach Ende Ihrer Zeichnung f\u00fcr jedes Dreieck einen Pfeil, der zu diesem Dreieck f\u00fchrt?
\nWenn dies nicht der Fall ist, beweisen Sie, dass die beiden Funktionsbedingungen F1 und F2 trotzdem richtig sind.<\/p>\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie eine Funktion, mit der jeder W\u00e4hler eine Partei w\u00e4hlt. Wie behandeln Sie W\u00e4hler, die nicht oder ung\u00fcltig w\u00e4hlen? Beschreiben Sie Ihre Funktion mengentheoretisch. Kann ein W\u00e4hler gleichzeitig zwei Parteien w\u00e4hlen?<\/p>\n

f)<\/strong> Bei einer Nutzenfunktion, die in der Mikro\u00f6konomie verwendet wird, sind die Funktionswerte reelle Zahlen. Als Argumente sollten Personen, Warenarten, und Quantit\u00e4ten von Waren der jeweiligen Art verwendet werden. Wir nehmen an, dass es nur zwei Warenarten gibt. K\u00f6nnen sie diese Funktion dreidimensional aufzeichnen? Wenn es mehr als drei Warenarten gibt, wird die Nutzenfunktion auf eine bestimmte Person relativiert. Zeichnen Sie eine Funktion, die jeder Warenart eine nicht-negative, reelle Zahl zuordnet und interpretieren Sie diese Darstellung. Beschreiben Sie eine Nutzenfunktion mengentheoretisch.<\/p>\n

Wenn eine Relation mehr als zwei Stellen hat und wenn sie als eine Funktion verwendet wird, muss eine weitere Zahl angegeben werden, welche die Anzahl der Argumente angibt, die bei der Funktion verwendet werden. Wenn die Relation R<\/em> n<\/em>-stellig ist, kommt die Anzahl m<\/em> der Argumente hinzu: 0 < m<\/em> < n<\/em>. Funktional wird R<\/em> zu einer m<\/em>-stelligen Funktion f<\/em>. Die Elemente aus R<\/em> haben die Form\u00a0\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>n<\/sub> \u232a. Funktional wird dies so geschrieben:<\/p>\n

f<\/em> ( x<\/em>1<\/sub>, …, xm<\/sub><\/em> ) =\u00a0\u2329 x<\/em>m<\/em>+1<\/sub>, …, xn <\/sub><\/em>\u232a.<\/p>\n

Oft wird dies weiter abgek\u00fcrzt, in dem die Listen\u00a0\u2329\u00a0x<\/em>1<\/sub>, …, xm<\/sub><\/em>\u00a0\u232a und\u00a0\u00a0\u2329 x<\/em>m<\/em>+1<\/sub>, …, xn <\/sub><\/em>\u232a durch andere Symbole zusammengefasst werden, z.B.<\/p>\n

f<\/em> ( x<\/strong> ) = y<\/strong>, wobei x<\/strong> =\u00a0\u2329\u00a0x<\/em>1<\/sub>, …, xm<\/sub><\/em>\u00a0\u232a und y<\/strong> = \u2329 x<\/em>{m<\/em>+1}<\/sub>, …, xn <\/sub><\/em>\u232a.<\/p>\n

Die erste Funktionsbedingung F1 wird auch in abgeschw\u00e4chter Form eingesetzt. Dabei m\u00fcssen nicht alle Argumente a<\/em> aus A<\/em> verwendet werden. Genauer muss es eine Teilmenge A <\/em>‚ von A<\/em> geben, die Bedingung F1 erf\u00fcllt:\u00a0\u2200 a<\/em>\u00a0\u2208 A <\/em>‚\u00a0\u2203 w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em> ( f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em> ).
\nEine solche Funktion, die nur in einem Teilbereich definiert ist, wird partiell<\/em> genannt; f<\/em> ist eine partielle Funktion.<\/p>\n

g)<\/strong> Modifizieren Sie Ihre Funktion aus e) so, dass W\u00e4hler die nicht gew\u00e4hlt oder eine ung\u00fcltige Stimme abgegeben haben, in der Zeichnung eliminiert werden. Beschreiben Sie mengentheoretisch die neue Funktion, bei der nur \u00abechte\u00bb W\u00e4hler verwendet werden. Beweise Sie, dass die neue Funktion mengentheoretisch eine Teilmenge der Funktion aus e) ist.<\/p>\n

h)<\/strong> Definieren Sie eine Funktion, bei der alle Argumente bekannt sind, bei der aber die Funktionswerte bei einigen Argumenten nicht bestimmt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n

Zwei Relationen R<\/em> und R <\/em>‚ k\u00f6nnen mengentheoretisch zusammengef\u00fcgt<\/em> (konkateniert<\/em>) werden. Dies geschieht, indem jeweils zwei Elemente r<\/em>\u00a0\u2208 R<\/em> und r <\/em>‚\u00a0\u2208 R <\/em>‚ in Beziehung gesetzt werden. Genauer haben die Elemente r<\/em> und r <\/em>‚ die Form r<\/em> =\u00a0\u2329 a<\/em>, b<\/em>\u00a0\u232a und r <\/em>‚ =\u00a0\u2329 a <\/em>‚, b <\/em>‚ \u232a, wobei die Grundmengen A<\/em>, B<\/em>, A <\/em>‚ und B <\/em>‚ bekannt sein m\u00fcssen. D.h. R<\/em>\u00a0\u2286 A<\/em>\u00a0\u00d7 B<\/em> und R <\/em>‚\u00a0\u2286 A <\/em>‚\u00a0\u00d7 B <\/em>‚.
\nDie Elemente r<\/em> und r <\/em>‚ stehen mit den Relationen R<\/em> und R <\/em>‚ in Beziehung, wenn es ein Element c<\/em> gibt, welches sowohl in B<\/em> als auch in A <\/em>‚ liegt, so dass gilt<\/p>\n

r<\/em> =\u00a0\u2329 a<\/em>, c<\/em>\u00a0\u232a\u00a0\u2208 R<\/em> und r <\/em>‚ =\u00a0\u2329 c<\/em>, b <\/em>‚\u00a0\u232a\u00a0\u2208 R <\/em>‚.<\/p>\n

Dies wird nun auf die Relationen R<\/em> und R <\/em>‚ insgesamt \u00fcbertragen. R <\/em>*<\/sup> wird die Konkatenation von R und R <\/em>‚ genannt (kurz: R <\/em>*<\/sup> = R<\/em> \"\circ\" R <\/em>‚), wenn folgendes gilt:<\/p>\n

F\u00fcr alle Elemente r<\/em>\u00a0\u2208 R<\/em> und r <\/em>‚\u00a0\u2208 R <\/em>‚ gilt: wenn es ein
\nElement c<\/em> gibt, welches in B<\/em> und in A <\/em>‚ liegt und wenn
\n\u2329\u00a0a<\/em>, c<\/em>\u00a0\u232a in R<\/em> und\u00a0\u2329 c<\/em>, b <\/em>‚ \u232a in R <\/em>‚,
\ndann liegt\u00a0\u2329 a<\/em>, b <\/em>‚\u00a0\u232a in R <\/em>*<\/sup>.<\/p>\n

Dies wird weiter abgek\u00fcrzt zu<\/p>\n

R <\/em>*<\/sup> = R \"\circ\" R ‚<\/em> gdw R <\/em>*<\/sup> = {\u00a0\u2329 x<\/em>, y <\/em>‚ \u232a \/\u00a0\u2203 z<\/em> ( z<\/em>\u00a0\u2208 B<\/em>\u00a0\u2227 z<\/em>\u00a0\u2208 A <\/em>‚\u00a0\u2227\u00a0\u2329 x<\/em>, z<\/em>\u00a0\u232a\u00a0\u2208 R<\/em>\u00a0\u2227\u00a0\u2329 z<\/em>, y <\/em>‚\u00a0\u232a\u00a0\u2208 R <\/em>‚ ) }.
\nBei dieser Definition stellt sich heraus, dass es f\u00fcr zwei Relationen R<\/em> und R <\/em>‚ genau eine Konkatenation R <\/em>*<\/sup> ( R <\/em>*<\/sup> =\u00a0R \"\circ\" R ‚<\/em> ) gibt. Das Symbol\u00a0\"\circ\"<\/em> erf\u00fcllt also beide Funktionseigenschaften: F1 und F2.\u00a0\"\circ\"<\/em> ist eine Funktion, die zwei Argumenten R<\/em> und R <\/em>‚ einen Wert\u00a0R \"\circ\" R ‚<\/em> zuordnet.<\/p>\n

Im einfachsten Fall werden alle Relationen auf dem kartesischen Produkt A<\/em>\u00a0\u00d7 A<\/em> gebildet.<\/p>\n

i)<\/strong> Bilden Sie die Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten. Die Menge der Zahlen { 1, 2, 3 } bezeichnen wir mit A<\/em>. Beschreiben Sie die Matrix-Eintr\u00e4ge in der Form\u00a0\u2329 i<\/em>, j<\/em> \u232a, 1\u00a0\u2264 i<\/em>\u00a0\u2264 3 und 1\u00a0\u2264 j<\/em>\u00a0\u2264 3. Bilden Sie 3 verschiedene Relationen R<\/em>1<\/sub>, R<\/em>2<\/sub>, R<\/em>3<\/sub> \u00fcber der Menge A<\/em>\u00a0\u00d7 A<\/em>. Berechnen Sie die Konkatenationen R<\/em>1<\/sub>\u00a0\"\circ\"<\/em> R<\/em>2<\/sub> und R<\/em>2<\/sub>\u00a0\"\circ\"<\/em> R<\/em>3<\/sub>.<\/p>\n

j)<\/strong> Wir gehen von vier Mengen A<\/em> = { a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> }, B<\/em> = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A <\/em>‚ = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, B <\/em>‚ = { X<\/em>, Y<\/em>, Z<\/em>, W<\/em> } aus und schreiben zwei Relationen R<\/em>\u00a0\u2282 A<\/em>\u00a0\u00d7 B<\/em> und R <\/em>‚\u00a0\u2282 A <\/em>‚\u00a0\u00d7 B <\/em>‚ genau wie folgt auf: R<\/em> = {\u00a0\u2329 a<\/em>, 2 \u232a,\u00a0\u2329 a<\/em>, 3\u00a0\u232a,\u00a0\u2329 a<\/em>, 4\u00a0\u232a,\u00a0\u2329 b<\/em>, 1\u00a0\u232a,\u00a0\u2329 b<\/em>, 5\u00a0\u232a } und R <\/em>‚ = {\u00a0\u2329 3, W<\/em>\u00a0\u232a,\u00a0\u2329 3, Z<\/em>\u00a0\u232a,\u00a0\u2329 4, X<\/em> \u232a,\u00a0\u2329 7, Y<\/em> \u232a,\u00a0\u2329 8, Y<\/em> \u232a,\u00a0\u2329 8, Z<\/em>\u00a0\u232a }.
\nBerechnen Sie die Konkatenation von R<\/em> und R <\/em>‚. Zeichnen Sie die zwei Relationen zweidimensional auf und berechnen Sie Elemente, die sowohl eine Komponente aus B<\/em> und aus A <\/em>‚ hat.<\/p>\n

Bei Funktionen lassen sich Zusammenf\u00fcgungen einfacher konstruieren. Wenn die Funktion f<\/em> die Form f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 B<\/em> und die Funktion g<\/em> die Form g<\/em> : B<\/em>\u00a0\u2192 C<\/em> hat, wird die Konkatenation von f<\/em> und g<\/em> zu g<\/em>\u00a0\"\circ\"<\/em> f<\/em> durch Hintereinanderschaltung beider Funktionen erreicht. Funktionell wird dies so geschrieben:<\/p>\n

g<\/em>\u00a0\"\circ\"<\/em> f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 C<\/em>,
\nf\u00fcr alle x<\/em> aus A<\/em> gilt: ( g<\/em>\u00a0\"\circ\"<\/em> f<\/em> ) ( x<\/em> ) = g<\/em> ( f<\/em> ( x<\/em> ) ) .<\/p>\n

k)<\/strong> Zeichnen Sie die folgenden vier mathematischen Funktionen: die Sinusfunktion sin<\/em>, die Cosinusfunktion cos<\/em>, die Funktion f<\/em>, welche bei jeder reellen Zahl die Zahl \u03c0\/2 hinzu addiert: f<\/em> ( x<\/em> ) = x<\/em> + \u03c0\/2, und die Funktion g<\/em>, bei der jede Zahl durch den negativen Wert ersetzt wird: g<\/em> ( x<\/em> ) = –x<\/em>. Nehmen Sie eine Zahl x<\/em>, berechnen Sie f<\/em> ( x<\/em> ). Schalten Sie cos<\/em> dahinter, und dann die Funktion g<\/em> mit Resultat h<\/em> ( x<\/em> ). Dann addieren Sie h<\/em> ( x<\/em> ) zu sin<\/em> ( x<\/em> ) hinzu. Bilden Sie durch Hintereinanderschaltung all dieser Funktionen die Funktion g<\/em> ( cos<\/em> ( x<\/em> + \u03c0\/2 ) ) + sin<\/em> ( x<\/em> ) und berechnen Sie diese Funktion mit Hilfe eines Mathematikbuchs oder per Internet.
\n