{"id":190,"date":"2017-05-28T14:49:43","date_gmt":"2017-05-28T12:49:43","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=190"},"modified":"2021-02-06T10:58:06","modified_gmt":"2021-02-06T09:58:06","slug":"uebung-02-13","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-02\/uebung-02-13\/","title":{"rendered":"\u00dc2-13: Netze mit Zeitkomponenten"},"content":{"rendered":"\n

Ein zeitabh\u00e4ngiges<\/em> \u2014 mit anderen Worten dynamisches<\/em> \u2014 Netz kann auf zwei Arten dargestellt werden. In beiden F\u00e4llen wird eine neue Menge Z<\/em> von Zeitpunkten<\/em> eingef\u00fchrt. In der ersten Version wird jedem Zeitpunkt z<\/em> ein Netz zugeordnet, so dass alle Punkte zum Zeitpunkt z<\/em> betrachtet und untersucht werden.
In der zweiten Version wird jedem Punkt ein Zeitpunkt mitgegeben. In beiden F\u00e4llen werden Zeitpunkte mit einer Relation verbunden, so dass ein Zeitpunkt sp\u00e4ter als<\/em> (abgek\u00fcrzt mit <) ein anderer Zeitpunkt liegt.<\/p>\n\n\n\n

1) Wir beginnen mit der zweiten Variante.
Ein dynamisches Netz DYN<\/em> besteht:
– aus einer Menge P<\/em> von Punkten,
– aus einer Menge Z<\/em> von Zeitpunkten
– aus einer zwei-stelligen Relation < sp\u00e4ter als<\/em> und
– aus eine Menge LLA<\/em> von Beziehungen la<\/em> zwischen Punkten und Zeitpunkten.
Eine solche Beziehung besteht zwischen vier Entit\u00e4ten: p<\/em>, z<\/em>, p <\/em>‚, z <\/em>‚. Um das Verst\u00e4ndnis zu erleichtern, nennen wir die Paare \u2329 p<\/em>, z<\/em> \u232a und \u2329 p <\/em>‚, z <\/em>‚ \u232a Knoten<\/em>. Ein Knoten besteht also auch einem Punkt und einem Zeitpunkt. Die Menge K<\/em> aller Knoten wird als kartesisches Produkt von P<\/em> und Z <\/em>explizit definiert: K<\/em> = P<\/em> \u00d7 Z<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

In dieser Form l\u00e4sst sich ein Netz in der zweiten Variante aus \u00dc2-11<\/a> darstellen.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beschreiben Sie die Relation LLA<\/em> als kartesisches Produkt \u00fcber den Mengen P<\/em> und Z<\/em> und interpretieren ein Element la<\/em> = \u2329 p<\/em>, z<\/em>, p <\/em>‚ ,z <\/em>‚ \u232a dieser Relation inhaltlich. Dabei sollten Sie auch etwas \u00fcber die zeitlichen Verh\u00e4ltnisse der beiden Punkte sagen.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie die Menge LLA<\/em> durch \u00c4nderung der Klammern zu einer Menge LLA <\/em>*<\/sup> um, so dass \u2329 K<\/em>, LLA <\/em>*<\/sup> \u232a ein Netz ist. Siehe \u00dc2-11<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> F\u00fchren Sie eine 2-stellige Relation sim<\/em> zwischen Punkten ein und interpretieren Sie ein Paar \u2329 p<\/em>, p <\/em>‚ \u232a, welches in sim<\/em> liegt, inhaltlich. Spielt dabei auch Zeit\u00e4nderung eine Rolle?<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie ein kleines dynamisches Netz auf, bei dem die Linien zwischen Knoten, d.h. Paaren von Punkten und Zeitpunkten, verlaufen. W\u00fcrden Sie die Beziehung \u2329 p<\/em>, z<\/em>, p <\/em>‚, z <\/em>‚ \u232a dazu verwenden, um die Beziehung \u2329 p<\/em>, p <\/em>‚ \u232a zu erkl\u00e4ren oder zu definieren?<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Ersetzen Sie in dem von Ihnen gezeichneten Netz die Punkte durch Theorien \u2329 M<\/em>, I<\/em>, D<\/em> \u232a.<\/p>\n\n\n\n

2) In der zweiten Version wird zun\u00e4chst die Menge \"$\cal MN\" aller statischen Netze \u00fcber einer gegebenen Menge P<\/em> von Punkten gebildet. Die Menge P<\/em> wird bei der Konstruktion der statischen Netze \u00fcber P<\/em> nicht ver\u00e4ndert. Wir schreiben die Menge alle statischen Netze \u00fcber P<\/em> daher so: \"$\cal MN\" ( P<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Dieser Menge \"$\cal MN\" ( P<\/em> ) wird durch Mengenabstraktion gebildet (siehe \u00dc2-3<\/a>). Eine Gesamtheit von Mengen, welche alle die Netzdefinition erf\u00fcllen, wird als eine neue Menge \"$\cal MN\" ( P<\/em> ) \u2014 und damit eine Menge von Mengen \u2014 betrachtet. Alle Mengen, die die Netzdefinition erf\u00fcllen, liegen in der Menge \"$\cal MN\" ( P<\/em> ) und alle anderen Mengen liegt nicht in \"$\cal MN\" ( P<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Durch diese Konstruktion l\u00e4sst sich die erste, oben genannte Version von dynamischen Netzen wie folgt beschreiben.<\/p>\n\n\n\n

Ein dynamisches Netz wird aus zwei Mengen Z<\/em>, P<\/em>, einer Relation < und einer Funktion h<\/em> (wie \u00abhistory\u00bb) gebildet. Z<\/em> ist eine Menge von Zeitpunkten, P<\/em> eine Menge von Punkten. < ist die sp\u00e4ter als-<\/em>Relation f\u00fcr Zeitpunkte und h<\/em> ist eine Funktion, die jedem Zeitpunkt z<\/em> eine Menge von Punkten zuordnet.<\/p>\n\n\n\n

Eine Menge von Punkten, die zu dem Zeitpunkt z<\/em> zugeordnet ist, stellen wir in Form von h<\/em> ( z<\/em> ) = { p<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, pn <\/sub>z<\/sup><\/em> } dar. Die Menge { p<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, pn <\/sub>z<\/sup><\/em> } interpretieren wie folgt. Die Menge { p<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, pn <\/sub>z<\/sup><\/em> } enth\u00e4lt genau diejenigen Punkte pi <\/sub>z<\/sup><\/em>, die zum Zeitpunkt z<\/em> geh\u00f6ren.<\/p>\n\n\n\n

Anders gesagt bildet zu jedem Zeitpunkt z<\/em> ein Paar der Form \u2329 { p<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, pn <\/sub>z<\/sup><\/em> }, LA<\/em> \u232a ein statisches Netz:<\/p>\n\n\n\n

\u2329 { p<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, pn <\/sub>z<\/sup><\/em> }, LA<\/em> \u232a \u2208 \"$\cal MN\" ( P<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Wieder anders gesagt bilden diejenigen Punkte, die zum Zeitpunkt z<\/em> geh\u00f6ren zusammen mit verschiedenen Linien aus LA<\/em> ein statisches Netz.<\/p>\n\n\n\n

Wenn die Punkte durch Theorien ersetzt werden, k\u00f6nnen wir sagen, dass zum Zeitpunkt z<\/em> \u2014 relativ zu dem betrachteten dynamischen Netz \u2014 genau die Theorien T<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, Tn <\/sub>z<\/sup><\/em> existieren. Und diese Theorien bilden ein statisches Netz. Anders gesagt sind T<\/em>1 <\/sub>z<\/em><\/sup>, …, Tn <\/sub>z<\/sup><\/em> gerade diejenigen Theorien, die gleichzeitig existieren.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Zeichnen Sie mit 4 Punkten mindestens 6 verschiedene m\u00f6gliche statische Netze auf.<\/p>\n\n\n\n

g)<\/strong> Formulieren Sie mengentheoretisch pr\u00e4zise die Definition f\u00fcr dynamische Netze.<\/p>\n\n\n\n

h)<\/strong> Zeichnen Sie ein kleines dynamisches Netz auf, in dem es vier Zeitpunkte gibt. Gibt es in Ihrer
Zeichnung einen Punkt, der zu zwei verschiedenen Zeitpunkten z<\/em> und z <\/em>‚ geh\u00f6rt? Wenn nicht, \u00e4ndern Sie die Zeichnung so, dass dies der Fall ist.<\/p>\n\n\n\n

i)<\/strong> Versuchen Sie sinnvolle Hypothesen f\u00fcr die sp\u00e4ter als<\/em>-Relation zu formulieren.<\/p>\n\n\n\n

j)<\/strong> Formulieren Sie zwei Hypothesen, welche alle Bedingungen f\u00fcr ein dynamisches Netz erf\u00fcllen, und zus\u00e4tzlich speziell noch Ihre beiden Hypothesen.
<\/p>\n\n\n