{"id":262,"date":"2017-05-28T16:32:09","date_gmt":"2017-05-28T14:32:09","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=262"},"modified":"2019-03-17T08:25:18","modified_gmt":"2019-03-17T07:25:18","slug":"uebung-04-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-04\/uebung-04-01\/","title":{"rendered":"\u00dc4-1: Aufbau von mengentheoretischen Ausdr\u00fccken"},"content":{"rendered":"

Wir verwenden folgende Variablen f\u00fcr Mengen:
\nx<\/em>, y<\/em>, z<\/em>, x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub>, …, y<\/em>1<\/sub>, y<\/em>2<\/sub>, …, z<\/em>1<\/sub>, z<\/em>2<\/sub>, …
\nTerme werden aus folgenden Grundpr\u00e4dikaten aufgebaut:
\n1) x<\/em>\u00a0\u2208 y<\/em>, wobei x<\/em>, y<\/em> Variablen f\u00fcr Mengen sind
\n2) x<\/em> = y<\/em>, wobei x<\/em>, y<\/em> Variablen f\u00fcr Mengen sind
\n3) wenn t<\/em>, t<\/em>‚ Terme sind, dann sind auch<\/p>\n

t<\/em>\u00a0\u2227 t <\/em>‚
\nt<\/em>\u00a0\u2228 t <\/em>‚
\nt<\/em>\u00a0\u2192 t <\/em>‚
\nt<\/em>\u00a0\u2194 t <\/em>‚ und
\n\u00ac\u00a0t<\/em><\/p>\n

Terme
\n4) wenn t<\/em> ( x<\/em> ) ein Term ist, dann sind auch<\/p>\n

\u2200\u00a0x<\/em> t<\/em> ( x<\/em> ) und
\n\u2203\u00a0x<\/em> t<\/em> ( x<\/em> )<\/p>\n

Terme
\n5) wenn t<\/em> ( x<\/em> ) ein Term ist, dann ist auch<\/p>\n

{ x<\/em> \/ t<\/em> ( x<\/em> )\u00a0 }<\/p>\n

ein Term.<\/p>\n

a)<\/strong> Sind<\/p>\n

x<\/em>\u00a0\u2208 x<\/em>
\nx<\/em> = y<\/em>\u00a0\u2192 x<\/em>\u00a0\u2208 y<\/em>
\nx<\/em>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208 x<\/em> }
\nx<\/em>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em> }
\nx<\/em>1<\/sub>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em> }\u00a0\u2192 x<\/em>2<\/sub>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/span>\u00a0\u2208 z<\/em> }
\n\u2200\u00a0x<\/em> ( x<\/em>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em> }\u00a0\u2192\u00a0\u2203 x<\/em>1<\/sub> ( x<\/em>1<\/sub>\u00a0\u2208 { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208 x<\/em> } ) )<\/p>\n

Terme?
\nb)<\/strong> Machen folgende Terme inhaltlichen Sinn?<\/p>\n

x<\/em> = y<\/em>
\nx<\/em> = y<\/em>\u00a0\u2192 y<\/em> = x<\/em>
\n( x<\/em>\u00a0\u2208 y<\/em>\u00a0\u2227 y<\/em> = z<\/em> )\u00a0\u2192 x<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em>
\nx<\/em>\u00a0\u2208 y<\/em>\u00a0\u2227 y<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em>\u00a0\u2192 x<\/em>\u00a0\u2208 z<\/em>
\n( x<\/em> = y<\/em>\u00a0\u2227 y<\/em> = z<\/em> )\u00a0\u2192 y<\/em> = z<\/em><\/p>\n

Folgende Terme werden so definiert:<\/p>\n

{ x<\/em> } ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr { x<\/em> \/ x<\/em> = x<\/em> }
\n{ x<\/em>, y<\/em> } ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr { z<\/em> \/ z<\/em> = x<\/em>\u00a0\u2228 z<\/em> = y <\/em>}
\n{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr { z<\/em> \/ z<\/em> = x<\/em>1<\/sub>\u00a0\u2227 …\u00a0\u2227 z<\/em> = xn<\/sub><\/em> }
\n\u2329\u00a0x<\/em>\u00a0\u232a ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr { x<\/em> } und damit f\u00fcr { x<\/em> \/ x<\/em> = x<\/em> }
\n\u2329\u00a0x<\/em>, y<\/em>\u00a0\u232a ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr { { x<\/em> },\u00a0 { x<\/em>, y<\/em> } } und damit f\u00fcr<\/p>\n

{ z<\/em> \/ z<\/em> = { x<\/em> }\u00a0\u2228 z = { x<\/em>, y<\/em> } } und damit f\u00fcr
\n{ z<\/em> \/ z<\/em> = { x<\/em> \/ x<\/em> = x<\/em> }\u00a0\u2228 z<\/em> = { u<\/em> \/ u<\/em> = x<\/em>\u00a0\u2228 u<\/em> = y <\/em>} }<\/p>\n

und so weiter.<\/p>\n

Induktiv werden diese Definitionen wie folgt weitergef\u00fchrt.<\/p>\n

Wenn\u00a0{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> } definiert ist, bedeutet
\n{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em>, xn<\/sub><\/em>+1<\/sub> } folgendes
\n{ x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em>, xn<\/sub><\/em>+1<\/sub> }\u00a0= { z<\/em> \/ z<\/em> = { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> }\u00a0\u2228 z = { { x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> }, { xn<\/sub><\/em>+1<\/sub> } } }<\/p>\n

c)<\/strong> Sind<\/p>\n

{ x<\/em>1<\/sub>, y<\/em>2<\/sub>, z<\/em>2<\/sub>, z<\/em>1<\/sub>, { x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub> } }
\n{ x<\/em>, { x<\/em>, x<\/em> }, { x<\/em>, { x<\/em>, x<\/em>, x<\/em> } }, { { x<\/em>, { x<\/em>, x<\/em>, x<\/em> } }, { x<\/em>, { x<\/em>, x<\/em>, x<\/em>, x<\/em> } } } }
\n{ x<\/em>,\u00a0\u2329 y<\/em>, y<\/em>, x<\/em>\u00a0\u232a }
\n\u2329\u00a0x<\/em>, x<\/em>1<\/sub>, y<\/em>, { x<\/em>, y<\/em>2<\/sub>, y<\/em>, y<\/em> } \u232a<\/p>\n

definierte Terme?
\n