{"id":265,"date":"2017-05-28T16:33:06","date_gmt":"2017-05-28T14:33:06","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=265"},"modified":"2021-02-06T11:00:52","modified_gmt":"2021-02-06T10:00:52","slug":"uebung-04-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-04\/uebung-04-02\/","title":{"rendered":"\u00dc4-2: Mengensysteme mit Pr\u00e4dikaten"},"content":{"rendered":"\n

Zur Mengensprache werden einige Pr\u00e4dikate<\/em> p<\/em>1<\/sub>, …, pn<\/sub><\/em> hinzugenommen, welche den Zweck haben, mehr Praktisches auszudr\u00fccken \u2014 zum Beispiel: eine empirische Theorie zu beschreiben.<\/p>\n\n\n\n

Ein Pr\u00e4dikat l\u00e4sst sich am besten als eine Art von Name f\u00fcr eine bestimmte Menge oder f\u00fcr eine bestimmte Art von Menge verstehen, f\u00fcr die sich einige Personen genauer interessieren.<\/p>\n\n\n\n

Bei formallogischer Darstellung der Mengenlehre wird zun\u00e4chst eine Mengensprache spezifiziert (siehe \u00dc4-1<\/a>). Dazu werden einige wenige Grundbegriffe, wie: =, \u2208, { }, \u2329 \u232a, viele Symbole f\u00fcr Variable, eventuell einige (\u00abendlich viele\u00bb) Pr\u00e4dikate, einige Regeln verwendet, mit denen aus den genannten Sachen S\u00e4tze, Formeln und Terme gebildet werden, und mit denen einige grundlegende Hypothesen (Axiome) f\u00fcr das Gesamtsystem aller Mengen formuliert werden.<\/p>\n\n\n\n

Wenn auch mehr praktische Untersuchungsbereiche bereit gestellt werden sollen, werden Pr\u00e4dikate eingef\u00fchrt, welche empirische Dinge, Sachverhalte, Ereignisse beschreiben sollen. Um dies auszudr\u00fccken, m\u00fcssen die Pr\u00e4dikate und die Variablen interpretiert werden. In der Mengenlehre gibt es nur eine Art von Entit\u00e4t, die f\u00fcr eine Interpretation von Symbolen in Frage kommt, n\u00e4mlich Mengen<\/em>, oder pr\u00e4ziser: ein Bereich von Mengen.<\/p>\n\n\n\n

Bei Interpretation eines mengentheoretischen Satzes werden die Variablen bei einer Auswertung durch (Namen von) Mengen ersetzt. In \u00e4hnlicher Weise wird auch bei Pr\u00e4dikaten verfahren. Wir unterscheiden gleich am Anfang drei Arten von Pr\u00e4dikaten, n\u00e4mlich spezielle 1-stellige, \u00abechte\u00bb 1-stellige und n<\/em>-stellige ( n<\/em> > 1 ) Pr\u00e4dikate.<\/p>\n\n\n\n

Spezielle 1-stellige Pr\u00e4dikate werden Konstanten<\/em> genannt. Ein spezielles 1-stelliges Pr\u00e4dikat pi<\/sub><\/em> hat einen Namen und es wird durch eine einelementige Menge interpretiert, d.h. eine Menge, die genau ein Element enth\u00e4lt. Oft ist in der Interpretation das einzige Element eine reelle Zahl \u03b1. Oft wird das Pr\u00e4dikat mit einem hervorgehobenen Symbol als Name verwendet. Oft werden solche 1-stelligen Pr\u00e4dikate nur bei funktionaler Schreibweise verwendet.
Zum Beispiel wird die Planck<\/em>sche Konstante mit h<\/em> bezeichnet. Die Interpretation von pi<\/sub><\/em>, also der Planck<\/em>schen Konstante, hat dann die Form { h<\/em> }. Dabei werden in der Praxis die Mengenklammern weggelassen. In einem Beweis sollte mengentheoretisch z.B. eine Gleichung so geschrieben werden: { h<\/em> } = x<\/em>. In praktischen Rechnungen werden aber Mengen kaum explizit verwendet; so dass z.B. auch h<\/em> = x<\/em> geschrieben wird.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Finden Sie in Ihrem Wissensbereich zwei Konstanten, die zu einer Theorie geh\u00f6ren. Versuchen Sie bei jeder Konstante die Funktion der Konstante zu beschreiben. Mit welchen anderen Begriffen h\u00e4ngt die jeweilige Konstante zusammen?<\/p>\n\n\n\n

Ein \u00abechtes\u00bb 1-stelliges Pr\u00e4dikat pi<\/sub><\/em> wird durch eine Menge interpretiert, die mehr als ein Element enth\u00e4lt. Dieser Zusatz \u00abmehr als ein\u00bb wird in praktischen Anwendungen meistens nicht verwendet. Dieser Zusatz wird nur bei mengentheoretischen, meta-theoretischen \u00dcberlegungen ins Spiel gebracht. Wenn die interpretierte Menge einen Namen, z.B. Pr\u00e4d<\/em>, hat, k\u00f6nnen alle Formen verwendet werden: Pr\u00e4d<\/em> = x<\/em>, Pr\u00e4d<\/em> \u2208 x<\/em> und x<\/em> \u2208 Pr\u00e4d<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Interessant wird es, wenn in einem System mehrere 1-stellige Pr\u00e4dikate verwendet werden, welche dann nat\u00fcrlich \u00abirgendwie\u00bb auch miteinander zusammenh\u00e4ngen.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele:
In einer mikro\u00f6konomischen Theorie spielen Waren eine zentrale Rolle. In einem Modell dieser Theorie wird immer eine Menge von Waren verwendet. Formal wird ein 1-stelliges Pr\u00e4dikat, z.B. Waren<\/em> eingef\u00fchrt, welches in jedem Modell durch eine Menge von Waren interpretiert wird. Eine bestimmte Ware w<\/em> ist dann ein Element von Waren<\/em>: w<\/em> \u2208 Waren<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

In dieser Theorie k\u00f6nnen auch spezielle Eigenschaften von Waren eine Rolle spielen. Zum Beispiel gibt es Waren, die fl\u00fcssig sind, oder andere die essbar sind. F\u00fcr diese Eigenschaften werden 1-stellige Pr\u00e4dikate eingef\u00fchrt, z.B. fl\u00fcssig<\/em> und essbar<\/em>. Formal kann eine solche Eigenschaft durch eine Teilmenge der Warenmenge Waren<\/em> dargestellt werden: fl\u00fcssig<\/em> \u2282 Waren<\/em> und essbar<\/em> \u2282 Waren<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

In einer sozialpsychologischen Theorie von Heider<\/em> (Heider, 1946) wird eine Menge von Personen und eine Menge von Objekten verwendet. Beide Mengen k\u00f6nnen durch 1-stellige Pr\u00e4dikate beschrieben werden. Nennen wir das erste Pr\u00e4dikat Personen<\/em> und das zweite Pr\u00e4dikat Objekte<\/em>. In einem Modell wird Personen<\/em> durch eine Menge von Personen interpretiert und Objekte<\/em> durch eine Menge von Objekten. Ein bestimmtes Element p<\/em> aus Personen<\/em> ist dann eine bestimmte Person: p<\/em> \u2208 Personen<\/em>; ein Element ob<\/em> aus Objekte<\/em> ein Objekt: ob<\/em> \u2208 Objekte<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie zwei 1-stellige Pr\u00e4dikate, welche in ihrem Wissensbestand zu finden sind. Beschreiben Sie jede der Pr\u00e4dikate inhaltlich in normaler Sprache. Versuchen Sie, eine Menge von Objekten oder anderen Entit\u00e4ten zu finden, deren Elemente auf das jeweilige Pr\u00e4dikat zutrifft.<\/p>\n\n\n\n

Bei einem n<\/em>-stelligen ( n<\/em> > 1<\/em> ) Pr\u00e4dikat kommt hinzu, dass jedes Element aus einer durch pi <\/sub><\/em>interpretierten Menge des Namens Pr\u00e4d<\/em> eine Liste der L\u00e4nge n<\/em> (ein n<\/em>-Tupel) sein muss. Wenn die Menge des Namens Pr\u00e4d<\/em> verwendet werden soll, m\u00fcssen alle Elemente aus der Menge des Namens Pr\u00e4d<\/em> die Form \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> \u232a haben. \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> \u232a ist dabei ein Element von Pr\u00e4d<\/em>:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, xn<\/sub><\/em> \u232a \u2208 Pr\u00e4d<\/em>.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Beispiele:
Im oben gerade beschriebenen Beispiel einer sozialpsychologischen Theorie werden zwei 1-stellige Pr\u00e4dikate verwendet: Personen<\/em> und Objekte<\/em>. In dieser Theorie wird ein 2-stelliges Pr\u00e4dikat eingesetz, welches wir mag<\/em> nennen: eine Person p<\/em> aus Personen<\/em> mag<\/em> das Objekte ob<\/em> aus Objekte<\/em>: kurz: mag<\/em> ( p<\/em>, ob<\/em> ) oder auch \u2329 p<\/em>, ob<\/em> \u232a \u2208 mag<\/em>.
In der klassischen Mechanik ist der Begriff der Masse wichtig. Formal wird ein 2-stelliges Pr\u00e4dikat, z.B. Masse<\/em>, verwendet und in einem Modell wird Masse<\/em> durch eine Funktion m<\/em> interpretiert. Die Menge P<\/em> der Argumente im Modell besteht aus den Partikeln, denen eine Masse zugeschrieben wird und als Wertemenge wird die Menge \"\mathbb{N}\" der reellen Zahlen genommen. Die Funktion m<\/em> hat also die Form m<\/em> : P<\/em> \u2192 \"\mathbb{N}\".<\/p>\n\n\n\n

Wie in \u00dc2-4<\/a> beschrieben, ist die Funktion m<\/em> erstens eine 2-stellige Relation. Diese Relation bildet eine Teilmenge von P<\/em> \u00d7 \"\mathbb{N}\": m<\/em> \u2282 P<\/em> \u00d7 \"\mathbb{N}\". Zweitens wird jedem Partikel genau eine positive, reelle Zahl \u03b1 zugeordnet, welche als die<\/em> Masse des Partikels p<\/em> bezeichnet wird: m<\/em> ( p<\/em> ) = \u03b1.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Versuchen Sie zwei Pr\u00e4dikate in Ihrem Wissensbereich zu finden, welche 2-stellig sind oder noch mehr Stellen haben. Hat eine Ihrer Pr\u00e4dikate die Funktionseigenschaft? Werden in einem Ihrer Pr\u00e4dikate Zahlen verwendet?
<\/p>\n\n\n