{"id":273,"date":"2017-05-28T16:36:34","date_gmt":"2017-05-28T14:36:34","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=273"},"modified":"2021-02-03T14:44:02","modified_gmt":"2021-02-03T13:44:02","slug":"uebung-05-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-05\/uebung-05-02\/","title":{"rendered":"\u00dc5-2: \u00c4quivalenzklassen"},"content":{"rendered":"\n

Eine 2-stellige Relation \u223c<\/em>, deren beide Stellen sich auf eine nicht-leere Menge X<\/em> beziehen, hei\u00dft \u00c4quivalenzrelation auf X<\/em> gdw folgende Bedingungen erf\u00fcllt sind:
1) f\u00fcr alle a<\/em> \u2208 X gilt a<\/em> \u223c a<\/em>
2) f\u00fcr alle a<\/em>, b<\/em> \u2208 X<\/em> gilt: wenn a<\/em> \u223c b<\/em>, dann b<\/em> \u223c a<\/em>
3) f\u00fcr alle a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 X<\/em>: wenn a<\/em> \u223c b<\/em> und b<\/em> \u223c c<\/em>, dann a<\/em> \u223c c<\/em>.
Ist \u223c eine \u00c4quivalenzrelation auf X<\/em> und a<\/em> \u2208 X<\/em>, so hei\u00dft die Menge aller b<\/em>, f\u00fcr die b<\/em> \u223c a<\/em> gilt (also: { b<\/em> \/ b<\/em> \u223c a<\/em> }) die \u00c4quivalenzklasse von a unter<\/em> \u223c und wird z.B. mit \u00e3 bezeichnet.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie eine Sinuskurve und legen Sie drei horizontale Linien durch den Graphen dieser Funktion. Zeichnen Sie die Punkte ein, in denen die Sinuskurve die jeweiligen Linien schneiden.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie eine \u00c4quivalenzrelation \u223c. Zwei Punkte sollen \u00e4quivalent sein, wenn sie auf der gleichen Linie liegen und die Sinuskurve schneiden. Bilden Sie drei \u00c4quivalenzklassen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Beweise Sie sowohl anschaulich als auch formal, dass die drei \u00c4quivalenzklassen disjunkt sind. Wie viele Punkte liegen in einer dieser \u00c4quivalenzklassen?
<\/p>\n\n\n