{"id":277,"date":"2017-05-28T16:38:57","date_gmt":"2017-05-28T14:38:57","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=277"},"modified":"2021-02-03T14:44:40","modified_gmt":"2021-02-03T13:44:40","slug":"uebung-06-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-06\/uebung-06-01\/","title":{"rendered":"\u00dc6-1: Orte bekommen Koordinaten"},"content":{"rendered":"\n

Ein Beobachter nimmt seine Umgebung wahr. Einige materielle Gegenst\u00e4nde, die ihre Lage mit der Zeit nicht \u00e4ndern, hebt er hervor. Nennen wir diese Gegenst\u00e4nde Objekte<\/em>. Wir nehmen an, dass der Beobachter Meterma\u00df und Ma\u00dfst\u00e4be m<\/em>1<\/sub>, m<\/em>2<\/sub>, m<\/em>3<\/sub>, … zur Hand hat. Er misst damit die Abst\u00e4nde verschiedener Objekte.<\/p>\n\n\n\n

Um in diese Abst\u00e4nde eine gewisse Ordnung zu bringen, versieht er vier verschiedene Objekte mit Namen: Ursprungspunkt u<\/em>, Richtungspunkt1<\/sub> e<\/em>1<\/sub>, Richtungspunkt2<\/sub> e<\/em>2<\/sub> und Richtungspunkt3<\/sub> und e<\/em>3<\/sub>. Der Beobachter kann vom Ursprungspunkt u<\/em> ein Ma\u00dfstab m<\/em>1<\/sub> so anlegen, dass der Stab sowohl den Ursprungspunkt u<\/em> als auch den Richtungspunkt1<\/sub> e<\/em>1<\/sub> ber\u00fchrt. Die dazu n\u00f6tigen Handlungen und Werkzeuge setzen wir als bekannt voraus. Genauso verf\u00e4hrt der Beobachter mit den beiden Richtungspunkten2<\/sub> e<\/em>2<\/sub> und Richtungspunkten3<\/sub> e<\/em>3<\/sub> mit Ma\u00dfst\u00e4ben m<\/em>2<\/sub> und m<\/em>3<\/sub>. In den drei Richtungen k\u00f6nnen wir uns Geraden g<\/em>1<\/sub>, g<\/em>2<\/sub>, g<\/em>3<\/sub> vorstellen, so dass die Punkte u<\/em> und ei<\/sub><\/em> auf der Geraden gi<\/sub><\/em> liegen ( i<\/em> = 1, 2, 3 ).<\/p>\n\n\n\n

Damit hat der Beobachter drei Koordinatenachsen<\/em> erzeugt, mit denen er die Abst\u00e4nde von Objekten in anderer Weise ausdr\u00fcckt. Er misst den Abstand eines Objekts o<\/em> zum Ursprungspunkt u<\/em> nicht direkt, sondern er konstruiert ein Objekt ki<\/sub><\/em> auf einer Koordinatenachse gi<\/sub><\/em>, von dem aus er den Abstand von o<\/em> misst.<\/p>\n\n\n\n

Dies geschieht wie folgt. Er \u00abkonstruiert\u00bb ein weiteres Objekt k<\/em>1<\/sub> (falls dies noch nicht zu den anf\u00e4nglich vorhandenen Objekte dazu geh\u00f6rt), welches zwischen dem Ursprungspunkt u<\/em> und dem Richtungspunkt e<\/em>1<\/sub> liegt. Dann legt er einen Ma\u00dfstab m<\/em>1<\/sub> an u<\/em> und k<\/em>1<\/sub> an und einen Ma\u00dfstab m<\/em>1<\/sub>‚ an k<\/em>1<\/sub> und o<\/em> an, so dass diese Ma\u00dfst\u00e4be einen rechten Winkel bilden. (Dies ist eine komplexe Prozedur, die wir hier als bekannt voraussetzen.) Schlie\u00dflich misst der Beobachter den Abstand zwischen k<\/em>1<\/sub> und o<\/em> und den Abstand zwischen k<\/em>1<\/sub> und u<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Damit sind zwei Abst\u00e4nde d<\/em>1<\/sub> ( k<\/em>1<\/sub>, o<\/em> ) und d<\/em>1<\/sub> ( k<\/em>1<\/sub>, u<\/em> ) bekannt. Nach einer geometrischen Hypothese erf\u00fcllen diese zwei bekannten Abst\u00e4nde und der dritte Abstand d<\/em>1<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ) den wohlbekannten Satz von Pythagoras<\/em>. Damit kann der Abstand zwischen u<\/em> und o<\/em> durch die Abst\u00e4nde zwischen k<\/em>1<\/sub> und u<\/em> und zwischen k<\/em>1<\/sub> und o<\/em> eindeutig bestimmt werden.<\/p>\n\n\n\n

Genauso verfahren wir in den beiden anderen Richtungen. Wir erhalten Abst\u00e4nde d<\/em>2<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ) und d<\/em>3<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ). Es stellt sich heraus, dass alle drei Abst\u00e4nde d<\/em>1<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ), d<\/em>2<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ), d<\/em>3<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ) zum selben Resultat f\u00fchren: d<\/em>1<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ) = d<\/em>2<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ) = d<\/em>3<\/sub> ( u<\/em>, o<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Durch vielfache Best\u00e4tigung sind die drei Abst\u00e4nde dieselben. Dies liegt haupts\u00e4chlich daran, dass sich die Abst\u00e4nde aller untersuchten Objekte nicht \u00e4ndern und daran, dass das eingesetzte Verfahren auch bei Wiederholung dasselbe Resultat zeigt \u2014 was bei anderen Verfahren nicht immer der Fall ist.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie 5 Punkte in ein Koordinatensystem mit drei Achsen ein. Ein Punkt u<\/em> soll im Ursprung des Systems liegen, drei Punkte e<\/em>1<\/sub>, e<\/em>2<\/sub>, e<\/em>3<\/sub> sollen auf den drei Koordinatenachsen g<\/em>1<\/sub>, g<\/em>2<\/sub>, g<\/em>3<\/sub> liegen und der f\u00fcnfte o<\/em> auf keinem der Koordinatenachsen. Zeichen Sie einen Pfeil vom Ursprung zu dem Punkt o<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Zeichnen Sie wie oben beschrieben einen Punkt k<\/em>1<\/sub> und eine Gerade g<\/em>4<\/sub> ein, so dass 1) die Punkte o<\/em> und k<\/em>1<\/sub> auf g<\/em>4<\/sub> liegt und 2) Gerade g<\/em>1<\/sub> und g<\/em>4<\/sub> einen rechten Winkel bilden. Zeichnen Sie in derselben Weise zwei weitere Punkte k<\/em>2<\/sub>, k<\/em>3<\/sub>, Geraden g<\/em>5<\/sub> und g<\/em>6<\/sub> ein.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Wenden Sie bei jedem der drei rechtwinklig angeordneten Geradenpaare den Satz von Pythagoras<\/em> an. Wenn Ihnen dieses Theorem nicht vertraut ist, lesen Sie dieses Theorem im Internet nach.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Pr\u00fcfen Sie, ob bei allen drei Konstruktionen die Abst\u00e4nde zwischen u<\/em> und o<\/em> dieselben sind. Diskutieren Sie, warum dies so ist. Oder warum dieses bei Ihnen nicht so ist?
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