{"id":281,"date":"2017-05-28T16:39:31","date_gmt":"2017-05-28T14:39:31","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=281"},"modified":"2021-02-06T11:07:16","modified_gmt":"2021-02-06T10:07:16","slug":"uebung-06-03","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-06\/uebung-06-03\/","title":{"rendered":"\u00dc6-3: Funktionen"},"content":{"rendered":"\n

Eine Funktion<\/em> f<\/em> ist ein Prozess, durch den Objekte aus einer ersten Menge G<\/em> in Objekte einer zweiten Menge W<\/em> abgebildet werden. Mengentheoretisch l\u00e4sst sich eine Funktion f<\/em> durch drei Mengen darstellen, n\u00e4mlich f<\/em>, G<\/em> und W<\/em>. G<\/em> wird als der Argumentbereich<\/em> (der Funktion f<\/em>), W<\/em> als der Wertebereich<\/em> (der Funktion f<\/em>) bezeichnet und f<\/em> als die Funktion<\/em>. Ein Element aus f<\/em> hat die Form eines Paares \u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a, wobei a<\/em> ein Argument<\/em> (der Funktion f<\/em>) ist und w<\/em> der „dazugeh\u00f6rige“ Wert<\/em> (der Funktion f an der Stelle a<\/em>). f<\/em> selbst wird ebenfalls als eine Menge konzipiert. f<\/em> ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts G<\/em> \u00d7 W<\/em>. Dies wird meistens abgek\u00fcrzt so formuliert:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

f<\/em> : G<\/em> \u2192 W<\/em> und f<\/em> ( a<\/em> )  = w<\/em>,<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

oder rein mengentheoretisch geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

f<\/em>  \u2286 G<\/em> \u00d7 W<\/em>, \u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a \u2208 f<\/em>.<\/p>

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Bei einer Funktion f<\/em> m\u00fcssen immer die zwei in \u00dc2-10<\/a> formulierten Bedingungen (F1) und (F2) erf\u00fcllt sind.<\/p>\n\n\n\n

Eine Funktion f<\/em>  hat eine speziellere Form, wenn die Argumente sogenannte n<\/em>–Tupel<\/em> bilden. In diesem Fall gibt es eine nat\u00fcrliche Zahl n<\/em> ( n<\/em> > 1  ), so dass alle Argumente a<\/em> aus dem Argumentbereich G<\/em> der Funktion f<\/em> die Form \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a haben:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

a<\/em> \u2208 G<\/em>, a<\/em> = \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a, G<\/em> = G<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Gn<\/sub><\/em>.<\/p>

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Die Funktion f<\/em> l\u00e4sst sich in solchen F\u00e4llen kurz wie folgt schreiben:<\/p>\n\n\n\n

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f<\/em> : G<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Gn<\/sub><\/em> \u2192 W<\/em> und f<\/em> ( \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a ) = w<\/em><\/p>

<\/p>\n\n\n\n

oder rein mengentheoretisch formuliert:<\/p>\n\n\n\n

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f \u2286 ( G<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Gn<\/sub><\/em> ) \u00d7 W<\/em> und \u2329 \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a, w<\/em> \u232a \u2208 f<\/em>.<\/p>

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Oft werden in f<\/em> ( \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a ) die spitzen Klammern aus Lesbarkeitsgr\u00fcnden weggelassen, es wird also so geschrieben: f<\/em> ( a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Genauso k\u00f6nnen die Werte einer Funktion f<\/em> spezieller gefasst werden. Aus einem Wert w<\/em> wird ein m<\/em>-Tupel \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a<\/p>\n\n\n\n

w<\/em> \u2208 W<\/em>, w<\/em> = \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a und W<\/em> = W<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Wm<\/sub><\/em>.<\/p>\n\n\n\n

f<\/em> : G<\/em> \u2192 W<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Wm<\/sub><\/em> und f<\/em> ( a<\/em> ) = \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a
oder rein mengentheoretisch geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

f<\/em> \u2286 G<\/em> \u00d7 ( W<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Wm<\/sub><\/em> ) und \u2329 a<\/em>, \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a \u232a \u2208 f<\/em>.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Auch beide Spezialf\u00e4lle k\u00f6nnen gleichzeitig verwendet werden:<\/p>\n\n\n\n

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f<\/em> : ( G<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Gn<\/sub><\/em>) \u2192 ( W<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Wm<\/sub><\/em> ),
f<\/em> ( \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a) = \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

oder rein mengentheoretisch formuliert:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

f<\/em> \u2286 ( G<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Gn<\/sub><\/em>) \u00d7 ( W<\/em>1<\/sub> \u00d7 … \u00d7 Wm<\/sub><\/em> ),
\u2329 \u2329 a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> \u232a, \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a \u232a \u2208 f<\/em>.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Oft wird dies auch so geschrieben: f<\/em> ( a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> ) = \u2329 w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> \u232a oder f<\/em> ( a<\/em>1<\/sub>, …, an<\/sub><\/em> ) = ( w<\/em>1<\/sub>, …, wm<\/sub><\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie eine Funktion f<\/em>, indem Sie die Menge G<\/em> und die Menge W<\/em> durch zwei gerade Strecken darstellen, die parallel zueinander liegen. Zeichnen Sie drei Argumente als Punkte in die Strecke f\u00fcr G<\/em> ein und zeichnen Sie f\u00fcr jeden dieser Punkte einen Pfeil, der zu einem Objekt aus W<\/em> f\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Pr\u00fcfen Sie, ob in a) die Eindeutigkeitsbedingung (F1) erf\u00fcllt ist. Zeichnen Sie einen weiteren Pfeil in a) ein, so dass Bedingung (F1) nicht mehr stimmt.<\/p>\n\n\n\n

Eine Funktion f<\/em>  hei\u00dft injektiv<\/em> genau dann wenn ausgeschlossen wird, dass zwei verschiedene Argumente zum selben Wert f\u00fchren. D.h. f<\/em> ( a<\/em> )  = w<\/em> und f<\/em> ( b<\/em> ) = w<\/em> und a<\/em> \u2260 b<\/em> wird ausgeschlossen.
Eine Funktion f<\/em> hei\u00dft surjektiv<\/em> genau dann wenn jedes Element w<\/em> aus der Menge W<\/em> auch ein Wert der Funktion f<\/em> ist. D.h.: f\u00fcr jedes w<\/em> \u2208 W<\/em> gibt es ein Argument a<\/em> \u2208 G<\/em>, so dass f<\/em> ( a<\/em> ) = w<\/em>.
Eine Funktion f<\/em> hei\u00dft bijektiv<\/em> genau dann wenn die Funktion f<\/em> sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Die Menge aller Elemente der Funktion f<\/em>, d.h. die Menge aller Paare \u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a mit a<\/em> \u2208 G<\/em>, w<\/em> \u2208 W<\/em> und \u2329 a<\/em>, w<\/em> \u232a \u2208 f<\/em>, wird als der Graph der Funktion f<\/em> bezeichnet.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie in dieses Bild zwei orthogonale x<\/em>– und y<\/em>-Achsen und eine nicht gerade Linie ein. Pr\u00fcfen Sie, ob die Bedingungen (F1) und (F2) erf\u00fcllt sind. Wenn dies nicht der Fall ist, zeichnen Sie eine andere Linie ein, die beide Bedingungen erf\u00fcllt.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Interpretieren Sie die Linie in c) als einen Graphen einer Funktion. Tragen Sie auf der Linie einen Punkt ein und zeichnen Sie die beiden dazugeh\u00f6rigen Koordinaten des Punktes ein.<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Stellen Sie graphisch sechs Funktionen dar. Eine injektive Funktion, eine nicht injektive, eine surjektive, eine nicht surjektive, eine bijektive und eine nicht bijektive Funktion.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Zeichnen Sie eine Funktion, deren Argumentbereich G<\/em> zweidimensional ist. (Hinweis: G<\/em> l\u00e4sst sich z.B. durch eine Raute darstellen und der Wertebereich W<\/em> durch eine vertikale Linie.) Zeichnen Sie zwei Elemente aus dem Argumentbereich durch Punkte ein. Wo lokalisieren Sie die zwei zugeh\u00f6rigen Werte?<\/p>\n\n\n\n

g)<\/strong> Zeichnen Sie eine Funktion, deren Wertebereich W<\/em> zweidimensional ist.
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