{"id":289,"date":"2017-05-28T16:40:53","date_gmt":"2017-05-28T14:40:53","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=289"},"modified":"2021-02-03T14:47:04","modified_gmt":"2021-02-03T13:47:04","slug":"uebung-06-07","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-06\/uebung-06-07\/","title":{"rendered":"\u00dc6-7: Definition des Kreises"},"content":{"rendered":"\n

In der Geometrie kann ein Kreis explizit durch andere geometrische Grundbegriffe definiert werden. Dazu brauchen wir folgende Begriffe: die Menge P<\/em> der Punkte<\/em>, die Menge E<\/em> der Ebenen, die Menge \"\mathbb{R}\" der reellen Zahlen und die Abstandsfunktion d<\/em> : P<\/em> \u00d7 P<\/em> \u2192 \"\mathbb{R}\". d<\/em> ( a<\/em>, b<\/em> ) = \u03b1 besagt, dass der Abstand zwischen den Punkten a<\/em> und b<\/em> die Zahl \u03b1 ist.<\/p>\n\n\n\n

Die geometrischen Hypothesen, die die Abstandsfunktion d<\/em> und die Ebenen aus E<\/em> betreffen, werden wir hier nicht weiter diskutieren.
Definition<\/em>:
K<\/em> ist ein Kreis<\/em> gdw folgendes gilt:
1) K<\/em> ist eine Menge von Punkten, kurz: K<\/em> \u2282 P<\/em>
2) es gibt eine Ebene e<\/em> aus E<\/em>, so dass K<\/em> auch in E<\/em> liegt, kurz: K<\/em> \u2282 e<\/em>
3) es gibt einen Punkt a<\/em>0<\/sub> aus der Ebene e<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> \u2208 e<\/em> ) und eine positive, reelle Zahl \u03b1, so dass folgendes gilt: f\u00fcr alle b<\/em> \u2208 e<\/em> gilt: b<\/em> \u2208 K<\/em> gdw d<\/em> ( a<\/em>0<\/sub>, b<\/em> ) = \u03b1.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Diese Definition ist etwas unbeholfen formuliert. Verbessern Sie die Definition.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Stellen Sie einen Kreis, den Punkt a<\/em>0<\/sub>, die Zahl \u03b1 und einen Abstand graphisch dar. Interpretieren Sie diese Objekte inhaltlich.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Die hier formulierte Definition enth\u00e4lt einen Fehler. Finden Sie ihn, indem Sie die Menge K<\/em> so zeichnen, dass sie keinen Kreis ergibt.
<\/p>\n\n\n