{"id":295,"date":"2017-05-28T16:42:09","date_gmt":"2017-05-28T14:42:09","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=295"},"modified":"2021-02-03T14:48:57","modified_gmt":"2021-02-03T13:48:57","slug":"uebung-06-10","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-06\/uebung-06-10\/","title":{"rendered":"\u00dc6-10: Mengentheoretisches Pr\u00e4dikat"},"content":{"rendered":"\n

Ein \u00abnormales\u00bb Pr\u00e4dikat bezeichnet eine Menge von Entit\u00e4ten oder Beziehungen. Ein mengentheoretisches Pr\u00e4dikat<\/em> bezeichnet eine ganze Klasse von Mengen (oder Modellen).<\/p>\n\n\n\n

Ein mengentheoretisches Pr\u00e4dikat trifft auf eine Menge \u2014 bei uns genauer auf ein Modell einer Theorie \u2014 zu.<\/p>\n\n\n\n

Als Beispiel haben wir in \u00dc6-9<\/a> die Modelle der kopernikanischen Theorie kennengelernt. Ein Modell dieser Theorie kann zum Beispiel so dargestellt werden.
x<\/em> ist ein kopernikanisches Modell gdw
x<\/em> die Form \u2329 H<\/em>, Z<\/em>, \"\mathbb{R}\", <, s<\/em>, S<\/em>, MP<\/em> \u232a hat und folgende Hypothesen gelten:
1) H<\/em> ist eine endliche Menge
2) Z<\/em> ist eine unendliche Menge
3) H<\/em> und Z<\/em> sind disjunkt
4) \"\mathbb{R}\" ist die Menge der reellen Zahlen
5) < \u2282 Z<\/em> \u00d7 Z<\/em>
6) s<\/em> : H<\/em> \u00d7 Z<\/em> \u2192 \"\mathbb{R}\" 2<\/sup>
7) S<\/em> \u2208 H<\/em>
8) MP<\/em> \u2208 \"\mathbb{R}\" 2<\/sup>
9) < ist transitiv, konnex und anti-reflexiv
10) \u2200 z<\/em> \u2208 Z<\/em> ( s<\/em> ( S<\/em>, z<\/em> ) = MP<\/em> )
11) f\u00fcr alle Himmelsk\u00f6rper p<\/em> \u2014 ausgenommen S<\/em> \u2014 gibt es einen Kreis K<\/em> ( p<\/em> ), der den Punkt MP<\/em> als Mittelpunkt hat und auf dem alle Orte s<\/em> ( p<\/em>, z<\/em> ) des Himmelsk\u00f6rpers p<\/em> liegen.
Dabei muss vorher das kartesische Produkt von \"\mathbb{R}\" mit \"\mathbb{R}\" gebildet werden: \"\mathbb{R}\" 2<\/sup> = \"\mathbb{R}\" \u00d7 \"\mathbb{R}\". Weiter muss die informelle Hypothese 11) genauer formuliert werden.<\/p>\n\n\n\n

Damit kann folgendes mengentheoretisches Pr\u00e4dikat \"\cal P\" gebildet werden.
F\u00fcr alle x<\/em> gilt: x<\/em> \u2208 \"\cal P\" gdw es H<\/em>, Z<\/em>, <, s<\/em>, S<\/em>, MP<\/em> gibt so dass gilt:
x<\/em> = \u2329 H<\/em>, Z<\/em>, \"\mathbb{R}\", <, s<\/em>, S<\/em>, MP<\/em> \u232a und Hypothesen 1) – 11) gelten.
Dabei wird die Existenz der Menge der reellen Zahlen normalerweise als bekannt vorausgesetzt. \"\cal P\" ist das mengentheoretische Pr\u00e4dikat f\u00fcr die kopernikanischen Modelle.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Formulieren Sie ein Modell der klassischen Geometrie, in dem drei Grundmengen P<\/em>, G<\/em>, E<\/em> (von Punkten<\/em>, Geraden<\/em> und Ebenen<\/em>) und drei Relationen zwischen<\/em>, kongruent<\/em> (f\u00fcr Punkte) und liegt in<\/em> (f\u00fcr Punkte und Geraden und f\u00fcr Punkte und Ebenen) verwendet werden. Die Hypothesen k\u00f6nnen dabei informell gehalten oder gar nicht angegeben werden. Formulieren Sie explizit das mengentheoretische Pr\u00e4dikat f\u00fcr die klassische Geometrie.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie ein Modell des M\u00f6gens in kleinen Personengruppen. Verwenden Sie eine Mengen P<\/em> von Personen, eine Menge O<\/em> von Objekten (keine Personen) und die Relation des M\u00f6gens mag<\/em>: mag<\/em> ( p<\/em>, p <\/em>‚ ) und mag<\/em> ( p<\/em>, o<\/em> ), p<\/em> , p <\/em>‚ \u2208 P<\/em> und o<\/em> \u2208 O<\/em>. Weitere Hypothesen k\u00f6nnen Sie sich selbst ausdenken. Formulieren Sie das so gebildete mengentheoretische Pr\u00e4dikat f\u00fcr Ihre Modelle des M\u00f6gens im Detail.
<\/p>\n\n\n