{"id":3153,"date":"2018-08-11T08:59:47","date_gmt":"2018-08-11T06:59:47","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=3153"},"modified":"2023-02-17T21:03:38","modified_gmt":"2023-02-17T20:03:38","slug":"gms","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/messung\/gms\/","title":{"rendered":"Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder (GMS)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmengen<\/strong>
P   <\/em>Menge von materiellen Objekten
T   <\/em>Menge der Zeitpunkte<\/p>\n\n\n\n

Hilfsbasismengen<\/strong>
\"\mathbb{N}\"   die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen
\"\mathbb{R}\"   die Menge der reellen Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Relationen<\/strong>
s<\/em>   Ortsfunktion
m<\/em>  Massefunktion
f<\/em>   Kraftfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
k<\/em>   Federkonstante
p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub>   die einzelnen materiellen Objekte<\/p>\n\n\n\n

Definition<\/strong>
\"\mathbb{R}\" 3<\/sup>   die Menge der 3-dimensionalen, reellen Vektoren<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   s<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( P<\/em> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> )
\u03b82<\/sub>   m<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( P<\/em> : \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> )
\u03b83<\/sub>   f<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( P<\/em> \u00d7 T<\/em> \u00d7 \"\mathbb{N}\" : \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> )
\u03b84<\/sub>   k<\/em> \u2208 \"\mathbb{R}\"
\u03b85<\/sub>   P<\/em> = { p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> } \u2227 p<\/em>1<\/sub> \u2260 p<\/em>2<\/sub> \u2260 p<\/em>3<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Definitionen<\/strong>
\"\dot{s}(p,t)\" bedeutet \u00abdie erste Ableitung der Funktion s<\/em> im zweiten Argument t\u00bb<\/em>
\"\ddot{s}(p,t)\" bedeutet \u00abdie zweite Ableitung der Funktion s<\/em> im zweiten Argument t<\/em>\u00bb
\u2217 ist die skalare Multiplikation, d.h. wenn u<\/em> eine reelle Zahl und z<\/em> ein 3-dimensionaler, reeller Vektor ist, dann ist u<\/em> \u2217 z<\/em> die skalare Multiplikation von u<\/em> und z<\/em><\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1  <\/sub> T<\/em> \u2286 \"\mathbb{R}\" und T<\/em> ist ein offenes Intervall
H<\/em>2<\/sub>   \u2200 p<\/em> \u2208 P<\/em> ( m<\/em> ( p<\/em> ) > 0 )
H<\/em>3<\/sub>   \u2200 i<\/em>, j<\/em> \u2208 { 1, 2, 3 } \u2200 t<\/em>, t<\/em> ‚ \u2208 T<\/em> ( s<\/em>  ( pi<\/sub><\/em>, t<\/em> ) – s<\/em> ( pj<\/sub><\/em>, t<\/em> ) = s<\/em> ( pi<\/sub><\/em>, t<\/em> ‚ ) – s<\/em> ( pj<\/sub><\/em>, t<\/em> ‚ ) )
H<\/em>4<\/sub>   \u2203 \u03b4 \u2208 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( \"\ddot{s}(p_1,t)\" = \u03b4 )
H<\/em>5<\/sub>   \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> \u2200 i<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\" ( f<\/em> ( p<\/em>1<\/sub>, t<\/em>, i<\/em> ) =  f<\/em> ( p<\/em>3<\/sub>, t<\/em>, i<\/em> ) = 0 )
H<\/em>6<\/sub>   \u2200 \u03b1 \u2208 \"\mathbb{R}\" ( f<\/em> ( p<\/em>2<\/sub>, t<\/em>, i<\/em> ) = – k<\/em> \u2217 ( \"\dot{s}(p_2,t)\" – \"\dot{s}(p_2,t)\" ) )
H<\/em>7<\/sub>   \u2203 \u03b2 \u2208 \"\mathbb{R}\" \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( f<\/em> ( p<\/em>2<\/sub>, t<\/em>, i<\/em> ) ) = \u03b2 \u2217 ( \"\dot{s}(p_2,\alpha)\" ) – \"\dot{s}(p_1,t)\" ) )
H<\/em>8<\/sub>   \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( f<\/em> ( p<\/em>2<\/sub>, t<\/em>, 1 ) = – f<\/em> ( p<\/em>2<\/sub>, t<\/em>, 2 ) )
H<\/em>9<\/sub>   \u2200 i<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\" \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( i<\/em> > 2 \u2192 f<\/em> ( p<\/em>2<\/sub>, t<\/em>, i<\/em> ) = 0 )<\/p>\n\n\n\n

Messmodelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Gewichtsmessmodell mit Sprungfeder M(GMS)<\/strong> gdw es Mengen P<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>, s<\/em>, m<\/em>, f<\/em> und Konstanten k<\/em>, p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 P<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>, s<\/em>, m<\/em>, f<\/em>, k<\/em>, p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Relationen und Konstanten s<\/em>, m<\/em>, f<\/em>, k<\/em>, p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> haben die Typen \u03b81<\/sub>, …, \u03b85<\/sub> und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( P<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>, s<\/em>, m<\/em>, f<\/em>, k<\/em>, p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> ) und … und H<\/em>9<\/sub> ( P<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>, s<\/em>, m<\/em>, f<\/em>, k<\/em>, p<\/em>1<\/sub>, p<\/em>2<\/sub>, p<\/em>3<\/sub> ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(GMS)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele<\/strong>
– Systeme, bei denen Objekt p<\/em>1<\/sub> die Erde, p<\/em>2<\/sub> ein fest aufgeh\u00e4ngtes Objekt und k<\/em> die Konstante der Sprungfeder ist.<\/p>\n\n\n