{"id":353,"date":"2017-05-29T16:19:01","date_gmt":"2017-05-29T14:19:01","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=353"},"modified":"2021-02-06T18:02:58","modified_gmt":"2021-02-06T17:02:58","slug":"uebung-08-05","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-08\/uebung-08-05\/","title":{"rendered":"\u00dc8-5: Konstruktion einer Umgebung"},"content":{"rendered":"\n<p>Die einfachste Art einer Umgebung eines Punktes <em>p<\/em> ist der Kreis, dessen Mittelpunkt <em>p<\/em> ist. Praktisch l\u00e4sst sich ein Kreis durch einen Zirkel zeichnen. Die Umgebung von <em>p<\/em> enth\u00e4lt dann alle Punkte, die innerhalb des Kreises liegen.<\/p>\n\n\n\n<p>Mengentheoretisch wird eine solche Umgebung durch den Abstandsbegriff definiert. Der Abstand <em>d<\/em> ( <em>p <\/em>&#8218;, <em>p<\/em> ) des Punktes <em>p <\/em>&#8218; zum Mittelpunkt <em>p<\/em> wird durch eine reelle, positive Zahl&nbsp;\u03b5 definiert. Ein Punkt <em>p <\/em>&#8218; liegt in der Umgebung des Mittelpunkts <em>p<\/em>, wenn der Abstand von <em>p <\/em>&#8218; zu <em>p<\/em> kleiner oder gleich der fest vorgegebenen positiven, reellen Zahl&nbsp;\u03b5 ist:<\/p>\n\n\n\n<p><\/p><p style=\"padding-left:30px;\"><em>d<\/em> ( <em>p<\/em> &#8218;, <em>p<\/em> ) \u2264 \u03b5.<\/p><p><\/p>\n\n\n\n<p>Die Umgebung <em>u<\/em> von <em>p<\/em> besteht dann aus der Menge aller Punkte <em>p <\/em>&#8218;, deren Abstand kleiner oder gleich zu <em>d<\/em> ist:<\/p>\n\n\n\n<p><\/p><p style=\"padding-left:30px;\">{ <em>p <\/em>&#8218; \/ <em>d<\/em> ( <em>p <\/em>&#8218;, <em>p<\/em> )&nbsp;\u2264&nbsp;\u03b5 }.<\/p><p><\/p>\n\n\n\n<p><strong>a)<\/strong> Definieren Sie die Menge der Punkte, die <em>auf dem<\/em> Kreis um den Mittelpunkt <em>p<\/em> liegt.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>b)<\/strong> Zeichnen Sie eine Linie zwischen dem Mittelpunkt <em>p<\/em> und einem Punkt <em>p <\/em>&#8218; auf dem Kreis. Definieren Sie mengentheoretisch eine Funktion <em>f<\/em>, welche jedem Punkt <em>p <\/em>&#8220; auf dieser Linie einen Abstand <em>d<\/em> ( <em>p<\/em>, <em>p <\/em>&#8220; ) zuordnet. Zeichnen Sie diese Funktion. Welche Form hat diese Funktion?<\/p>\n\n\n\n<p><strong>c)<\/strong> Beschreiben Sie den Prozess der Vergr\u00f6\u00dferung eines Kreises mengentheoretisch.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>d)<\/strong> Versuchen Sie eine Kugel mit Mittelpunkt <em>p<\/em> zu zeichnen. Definieren Sie mengentheoretisch eine Umgebung, welche die Form einer Kugel hat.<br><\/p>\n\n\n<ul class=\"nav nav-pills nav-justified\">\n<li><a href=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-08\/uebung-08-04\/\">&lt;&lt;&lt;<\/a><\/li>\n<li><a href=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-08\/uebung-08-06\/\">&gt;&gt;&gt;<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Die einfachste Art einer Umgebung eines Punktes p ist der Kreis, dessen Mittelpunkt p ist. Praktisch l\u00e4sst sich ein Kreis durch einen Zirkel zeichnen. Die Umgebung von p enth\u00e4lt dann alle Punkte, die innerhalb des Kreises liegen. Mengentheoretisch wird eine solche Umgebung durch den Abstandsbegriff definiert. Der Abstand d ( p &#8218;, p ) des [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":55,"menu_order":5,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"page-fullwidth.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-353","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/353","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=353"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/353\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":4568,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/353\/revisions\/4568"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/55"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=353"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}