{"id":361,"date":"2017-05-29T16:20:25","date_gmt":"2017-05-29T14:20:25","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=361"},"modified":"2021-02-09T21:07:40","modified_gmt":"2021-02-09T20:07:40","slug":"uebung-08-09","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-08\/uebung-08-09\/","title":{"rendered":"\u00dc8-9: Stetige Funktionen"},"content":{"rendered":"\n

Eine Funktion f<\/em>  hei\u00dft stetig<\/em>, wenn sie erstens von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen f\u00fchrt<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

f<\/em> : \"\mathbb{R}\" \u2192 \"\mathbb{R}\"<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

und sie zweitens folgende Eigenschaft besitzt:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

F\u00fcr jede reelle Zahl \u03be<\/em> und f\u00fcr jedes \u03b5 > 0 gibt es ein \u03b4 > 0, so dass,
wenn x<\/em> \u2208 \"\mathbb{R}\" und | x<\/em> – \u03be<\/em> | < \u03b4,
dann ist | f<\/em> ( x<\/em> ) – f<\/em> ( \u03be<\/em> ) | < \u03b5.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Definieren Sie die Betragsfunktion<\/em> |   |. Jeder positiven reellen Zahl x<\/em> wird ein Funktionswert | x<\/em> | zugeordnet: | x<\/em> | = x<\/em>, und jeder negativen reellen Zahl x<\/em> der Funktionswert: | x<\/em> | = –x<\/em>. Zeichnen Sie diese Funktion auf. Was passiert mit dem Argument 0?<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Der Abstand d<\/em> zwischen zwei Punkten a<\/em>, b<\/em> in einer Ebene wird definiert durch d<\/em> ( a<\/em>, b<\/em> ) = | a<\/em> – b<\/em> |. Zeichnen Sie beide Punkte a<\/em>, b<\/em> auf der x<\/em>-Achse ein. Zeichnen Sie den Nullpunkt der x<\/em>-Achse so ein, dass er mit dem Punkt a<\/em> identisch ist. Halten Sie Punkt a<\/em> fest und schieben Sie den Punkt b<\/em> nach links und nach rechts. Stellen Sie den Abstand von b<\/em> zu a<\/em> (und damit zum Nullpunkt) variabel durch die Betragsfunktion dar: | b<\/em> | = | a<\/em> – b<\/em> |, wobei a<\/em> = 0<\/em> ist.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie den Betrag | a<\/em> + b<\/em> | (analog wie in b) den Betrag | a<\/em> – b<\/em> | als eine Funktion, wobei a<\/em> festgehalten wird und nur b<\/em> variiert.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Versuchen Sie zu beweisen, dass f\u00fcr reelle Zahlen gilt:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

| a<\/em> + b |<\/em> \u2264 | a<\/em> | + | b<\/em> |.<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

(Hinweis: Verwenden Sie ein einf\u00fchrendes Buch \u00fcber reelle Analysis.)<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie drei verschiedene stetige Funktionen und drei nicht stetige Funktion.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Stellen Sie die obige Definition der Stetigkeit bei einer der Funktionen f<\/em> in a) an einem einzigen Argument \u03be<\/em> von f<\/em> dar. Bilden Sie auf der x<\/em>-Achse eine Folge y<\/em>1<\/sub>, y<\/em>2<\/sub>, y<\/em>3<\/sub>, … von Zahlen, die sich auf die Zahl \u03be<\/em> zu bewegen. Untersuchen Sie wie sich die Funktionswerte f<\/em> ( y<\/em>1<\/sub> ), f<\/em> ( y<\/em>2<\/sub> ), f<\/em> ( y<\/em>3<\/sub> ) ,… auf der y<\/em>-Achse verhalten. Diese m\u00fcssen sich auf den Grenzwert f<\/em> ( \u03be<\/em> ) zu bewegen.
<\/p>\n\n\n