{"id":379,"date":"2017-05-29T16:26:17","date_gmt":"2017-05-29T14:26:17","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=379"},"modified":"2019-03-17T18:40:59","modified_gmt":"2019-03-17T17:40:59","slug":"uebung-09-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-09\/uebung-09-01\/","title":{"rendered":"\u00dc9-1: Pythagoras und Inkommensurabilit\u00e4t"},"content":{"rendered":"

Der geometrische Lehrsatz von Pythagoras<\/em> lautet: Wenn drei Punkte a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ein Dreieck und die Strecken \"\overline{ac}\" und\u00a0\"\overline{bc}\" einen rechten Winkel bilden, sind die L\u00e4ngen \"\overline{ab}\", \"\overline{ac}\",\u00a0\"\overline{bc}\" wie folgt verbunden:<\/p>\n\n\n\n
<\/td>\n\"\overline{ac}^2\" +\u00a0\"\overline{bc}^2\" = \"\overline{ab}^2\".<\/td>\n(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Durch Rechnung l\u00e4sst sich das Quadrat bei\u00a0\"\overline{ab}^2\" eliminieren:<\/p>\n\n\n\n
<\/td>\n\"\overline{ab} = \sqrt[2]{\overline{ac}^2 + \overline{bc}^2}\".<\/td>\n(2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die Gleichung (1) l\u00e4sst sich mit einigen nat\u00fcrlichen Zahlen l\u00f6sen. Z.B. 32<\/sup> + 42<\/sup> = 52<\/sup>, 32<\/sup> = 9, 42<\/sup> = 16, 52<\/sup> = 25 und damit 9 + 16 = 25. Meistens f\u00fchrt aber der Ausdruck \"\sqrt[2]{\overline{ac}^2 + \overline{bc}^2}\" zu einer Zahl \"\overline{ab}\", die weder eine nat\u00fcrliche noch eine rationale Zahl ist. Eine rationale Zahl l\u00e4sst sich durch einen Bruch aus zwei nat\u00fcrlichen Zahlen darstellen: \"\overline{ab} = n/m\". Wenn z.B. \"\overline{ac}\" die Zahl 1 und \"\overline{bc}\" die Zahl 1 ist, dann ist \"\overline{ab} = \sqrt[2]{1 + 1} = \sqrt[2]{2}\" eine irrationale Zahl. Die Zahl \"\sqrt[2]{2}\" l\u00e4sst sich nicht durch einen Bruch \"n/m\" von nat\u00fcrlichen Zahlen darstellen.<\/p>\n

Dies bedeutet in der Praxis, dass sich die L\u00e4nge der Strecke \"\overline{ab}\" meistens nicht durch die beiden L\u00e4ngen der Strecken \"\overline{ac}\" und \"\overline{bc}\" v\u00f6llig pr\u00e4zise berechnen l\u00e4sst. \"\overline{ab}\" kann nicht ganz genau mit den Strecken \"\overline{ac}\" und \"\overline{bc}\" verglichen werden; \"\overline{ab}\" ist mit \"\overline{ac}\" und \"\overline{bc}\" nicht kommensurabel<\/em>. D.h. \"\overline{ab}\" und \"\overline{ac}\" (und auch \"\overline{ab}\" und \"\overline{bc}\") sind inkommensurabel<\/em>. Diese Beziehung findet man in fast allen naturwissenschaftlichen Hypothesen in den Theorien wieder.<\/p>\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie in einer Ebene drei Punkte a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> auf, die ein Dreieck bilden, so dass die Strecke zwischen a<\/em> und c<\/em> und die Strecke zwischen b<\/em> und c<\/em> einen rechten Winkel bilden. Stellen Sie diese Punkte durch Paare von reellen Zahlen dar, x<\/em> =\u00a0\u2329 ua<\/sub><\/em>, va<\/sub><\/em> \u232a, y =\u00a0\u2329 ub<\/sub><\/em>, vb<\/sub><\/em> \u232a, z<\/em> =\u00a0\u2329 uc<\/sub><\/em>, vc<\/sub><\/em> \u232a. Beschreiben Sie die L\u00e4nge der Strecke zwischen x<\/em> und y<\/em> durch den Abstand d<\/em> ( x<\/em>, y<\/em> ) zwischen |\u00a0\u2329 ua<\/sub><\/em>, va<\/sub><\/em> \u232a –\u00a0\u2329 ub<\/sub><\/em>, vb<\/sub><\/em> \u232a | (siehe \u00dc8-9<\/a>) und verfahren Sie mit den Punkten x<\/em> und z<\/em> und den Punkten y<\/em> und z<\/em> genauso.<\/p>\n

b)<\/strong> Berechnen Sie den Abstand d<\/em> ( x<\/em>, y<\/em> ) mit Hilfe der Gleichung (2) und den Abst\u00e4nden d<\/em> ( x<\/em>, z<\/em> ) und d<\/em> ( y<\/em>, z<\/em> ).<\/p>\n

c)<\/strong> Konsultieren Sie ein Lehrbuch f\u00fcr Wahrscheinlichkeitstheorie und lesen Sie die Definition eines Produkts von Wahrscheinlichkeitsr\u00e4umen. In dieser Definition finden Sie Gleichungen der Formen (1) und (2) oben, wobei die Punkte durch Paare oder n<\/em>-Tupel dargestellt werden. Statt in einem Lehrbuch k\u00f6nnen Sie diese Definitionen auch auf Wikipedia finden.<\/p>\n

d)<\/strong> Versuchen Sie in einem Lehrbuch \u00fcber Quantenmechanik Gleichungen der Formen (1) und (2) oben zu finden.
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