{"id":381,"date":"2017-05-29T16:26:37","date_gmt":"2017-05-29T14:26:37","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=381"},"modified":"2019-03-18T09:23:16","modified_gmt":"2019-03-18T08:23:16","slug":"uebung-09-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-09\/uebung-09-02\/","title":{"rendered":"\u00dc9-2: Eindeutigkeit von Funktionen"},"content":{"rendered":"

Mengentheoretisch wird eine<\/em> Funktion f<\/em> durch eine Menge von Paaren\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em>\u00a0\u232a beschrieben. a<\/em> ist ein Argument und w<\/em> ein Funktionswert von f<\/em>. Die Argumente von f<\/em>\u00a0 bilden den Argumentbereich A<\/em> und die Funktionswerte den Wertebereich W<\/em> von f<\/em>. f<\/em> ist also eine Teilmenge des kartesischen Produkts A<\/em>\u00a0\u00d7 W<\/em>. Meist werden neben den Werten auch m\u00f6gliche Werte in Betracht gezogen: W<\/em>\u00a0\u2282 B<\/em>. All dies wird so abgek\u00fcrzt:<\/p>\n

f<\/em> \u00a0\u2286 A<\/em>\u00a0\u00d7 W<\/em>, f<\/em> = {\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em>\u00a0\u232a \/ a<\/em>\u00a0\u2208 A<\/em>\u00a0\u2227 w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em> }, W<\/em>\u00a0\u2282 B<\/em>,
\nf<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 B<\/em> und f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 W<\/em>.<\/p>\n

Die Eindeutigkeit der Funktion f<\/em> wird durch die Formel<\/p>\n\n\n\n
\u2200\u00a0a<\/em>\u00a0\u2208 A<\/em>\u00a0\u2200 w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em>\u00a0\u2208 w<\/em> ‚\u00a0\u2208 W<\/em> (\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em>\u00a0\u232a\u00a0\u2208 f<\/em>\u00a0\u2227\u00a0\u2329 a<\/em>, w<\/em> ‚\u00a0\u232a\u00a0\u2208 f<\/em>\u00a0\u2192 w<\/em> = w<\/em> ‚ )<\/td>\n(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

ausgedr\u00fcckt. Da es zu einem Argument immer nur einen Wert geben kann, wird statt<\/p>\n

\u2329\u00a0a<\/em>, w<\/em>\u00a0\u232a\u00a0\u2208 f<\/em> einfach w<\/em> = f<\/em> ( a<\/em> )<\/p>\n

geschrieben.<\/p>\n

Neben dieser Art von Eindeutigkeit, gibt es eine zweite Art von Eindeutigkeit, die sich auf eine Menge von Funktionen bezieht, die alle dieselben Argument- und Wertebereiche haben, A<\/em> und W<\/em>. Die Menge F<\/em> der Funktionen l\u00e4sst sich wie folgt schreiben:<\/p>\n

F<\/em> = {\u00a0 f<\/em> \/ f<\/em>\u00a0\u00a0\u2286 A<\/em>\u00a0\u00d7 W<\/em>\u00a0\u2227 \"\cal A\" ( f<\/em>, A<\/em>, W<\/em> ) }.<\/p>\n

Der Term\u00a0\"\cal A\" ( f<\/em>, A<\/em>, W<\/em> ) besagt, dass alle Funktionen f<\/em> aus der Menge F<\/em> die Eigenschaft\u00a0\"\cal A\" haben. Ein Teilbereich\u00a0\"\cal B\" aus dem Argumentbereich A<\/em> wird fest vorgegeben:\u00a0\"\cal B\"\u00a0\u2286 A<\/em>. Die zweite Art von Eindeutigkeit l\u00e4sst sich nun wie folgt formulieren. Die Einschr\u00e4nkung \"f_{\cal B}\" der Funktion f<\/em> : A<\/em>\u00a0\u2192 W<\/em> wird gebildet, indem der Argumentbereich A<\/em> auf \"\cal B\",\u00a0\"\cal B\"\u00a0\u2286 A<\/em>,\u00a0\"f_{\cal B}\" :\u00a0\"\cal B\"\u00a0\u2192 W<\/em> eingeschr\u00e4nkt wird. Wenn die \u00abBedingung\u00bb \"\cal B\" fest vorgegeben wird, kann diese Art von Eindeutigkeit so geschrieben werden:<\/p>\n\n\n\n
\u2200\u00a0f <\/em>1<\/sup>\u00a0\u2208 F<\/em>\u00a0\u2200 f <\/em>2<\/sup>\u00a0\u2208 F<\/em> ( \"f^1_{\cal B}\" = \"f^2_{\cal B} )\"<\/td>\n(2)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Dies besagt, dass die Funktionen aus F<\/em> die Bedingung\u00a0\"\cal B\" eindeutig<\/em> erf\u00fcllen. Oft wird diese Art von Eindeutigkeit nur auf ein einziges Argument a<\/em> bezogen:\u00a0\"\cal B\" = { a<\/em> }, f <\/em>{ a<\/em> }<\/sub>.
\nIm folgenden sei A<\/em> die Menge { 1, 2, …, 10 } und die Menge B<\/em> der m\u00f6glichen Werte die Menge { 1, 2, …, 10 }.<\/p>\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie eine Funktion f<\/em>. Auf der x<\/em>-Achse sind 10 Argumente der Funktion f<\/em> durch die Zahlen 1, …, 10 und auf der y<\/em>-Achse 10 m\u00f6gliche Werte durch die Zahlen 1, …, 10 eingezeichnet. Stellen Sie diese Funktion durch die Menge { \u2329 1, 3 \u232a, \u2329 2, 3 \u232a, \u2329 3, 3 \u232a, \u2329 4, 3 \u232a, \u2329 5, 3 \u232a, \u2329 6, 3 \u232a, \u2329 7, 3 \u232a, \u2329 8, 3 \u232a, \u2329 9, 3 \u232a, \u2329 10, 3 \u232a } dar. Zeichnen Sie diese Funktion, so dass ein Paar\u00a0\u2329 a<\/em>, f<\/em> ( a<\/em> )\u00a0\u232a durch einen Punkt auf der Ebene dargestellt wird.<\/p>\n

b)<\/strong> Stellen Sie in derselben Weise die Funktion { \u2329 1, 1 \u232a, \u2329 2, 1 \u232a, \u2329 3, 3 \u232a, \u2329 4, 1 \u232a, \u2329 5, 5 \u232a, \u2329 6, 1 \u232a, \u2329 7, 7 \u232a, \u2329 8, 1 \u232a, \u2329 9, 9 \u232a, \u2329 10, 1 \u232a } dar.<\/p>\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f <\/em>1<\/sup> = { \u2329 1, 10 \u232a, \u2329 2, 9 \u232a, \u2329 3, 7 \u232a, \u2329 4, 5 \u232a, \u2329 5, 3 \u232a, \u2329 6, 3 \u232a, \u2329 7, 3 \u232a, \u2329 8, 5 \u232a, \u2329 9, 6 \u232a, \u2329 10, 8 \u232a }.<\/p>\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f <\/em>2<\/sup> = { \u2329 1, 1 \u232a, \u2329 2, 2 \u232a, \u2329 3, 3 \u232a, \u2329 4, 3 \u232a, \u2329 5, 3 \u232a, \u2329 6, 3 \u232a, \u2329 7, 3 \u232a, \u2329 8, 5 \u232a, \u2329 9, 6 \u232a, \u2329 10, 8 \u232a }.<\/p>\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie in derselben Weise die Funktion f <\/em>3<\/sup> = { \u2329 1, 1 \u232a, \u2329 2, 1 \u232a, \u2329 3, 2 \u232a, \u2329 4, 2.5 \u232a, \u2329 5, 3 \u232a, \u2329 6, 3 \u232a, \u2329 7, 3 \u232a, \u2329 8, 2.5 \u232a, \u2329 9, 2 \u232a, \u2329 10, 1.5 \u232a }.<\/p>\n

f)<\/strong> Die Bedingung\u00a0\"\cal B\" sei die Menge { 5, 6, 7 } und F<\/em> die Menge { f <\/em>1<\/sup>, f <\/em>2<\/sup>,\u00a0f <\/em>3<\/sup> }. \u00dcbertragen Sie die drei in c) – e) gezeichneten Funktionen in dasselbe Koordinatensystem. Sie sehen, dass alle drei Funktionen eingeschr\u00e4nkt auf die Bedingung {5, 6, 7 } identisch sind. Beweisen Sie, dass die Funktionen aus F<\/em> die Bedingung\u00a0\"\cal B\" eindeutig erf\u00fcllen.<\/p>\n

g)<\/strong> Zeigen Sie, dass die Mengen\u00a0\"f_{\cal B}\" und f<\/em> \u2229 (\u00a0\"\cal B\"\u00a0\u00d7 W<\/em>\u00a0) identisch sind.
\n