{"id":383,"date":"2017-05-29T16:26:59","date_gmt":"2017-05-29T14:26:59","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=383"},"modified":"2021-02-06T18:04:58","modified_gmt":"2021-02-06T17:04:58","slug":"uebung-09-03","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-09\/uebung-09-03\/","title":{"rendered":"\u00dc9-3: Injektive und bijektive Funktionen"},"content":{"rendered":"\n

Eine Funktion f<\/em> : A<\/em> \u2192 W<\/em> ist injektiv<\/em> gdw gilt:<\/p>\n\n\n\n

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\u2200 a<\/em> \u2208 A<\/em> \u2200 b<\/em> \u2208 A<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2192 f<\/em> ( a<\/em> ) \u2260 f<\/em> ( b<\/em> ) ).<\/p>

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Eine Funktion f<\/em> : A<\/em> \u2192 W<\/em> ist bijektiv<\/em> gdw gilt:<\/p>\n\n\n\n

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f<\/em>  ist injektiv und \u2200 w<\/em> \u2208 W<\/em> \u2203 a<\/em> \u2208 A<\/em> ( w<\/em> = f<\/em> ( a<\/em> ) ).<\/p>

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a)<\/strong> Zeichnen Sie zwei injektive Funktionen, zwei bijektive Funktionen, zwei nicht injektive Funktionen und zwei nicht bijektive (aber injektive) Funktionen.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Zeichnen Sie x<\/em>– und y<\/em>-Achsen auf und interpretieren Sie diese Achsen nach rechts bzw. nach oben als die Mengen \"\mathbb{N}\" der nat\u00fcrlichen Zahlen. Der Quadrant rechts oben stellt das kartesische Produkt \"\mathbb{N}\" \u00d7 \"\mathbb{N}\" dar. Versuchen Sie eine injektive Funktion f<\/em> zu finden, die von dem kartesischen Produkt \"\mathbb{N}\" \u00d7 \"\mathbb{N}\" in die Menge \"\mathbb{N}\" geht; f<\/em> : \"\mathbb{N}\" \u00d7 \"\mathbb{N}\" \u2192 \"\mathbb{N}\". (Hinweis: Die Argumente der Funktion f<\/em> k\u00f6nnen diagonal und nach rechts-oben abgearbeitet werden.)<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> L\u00e4sst sich eine bijektive Funktion von \"\mathbb{R}\" in das reelle Intervall ] \u03b1, \u03b2 [ ( \u03b1 < \u03b2 ) definieren? Eine genaue Definition erwarten wir nicht, nur eine Idee, wie sich eine Definition formulieren lassen k\u00f6nnte. Gibt es eine bijektive Funktion f<\/em> : \"\mathbb{R}\" \u2192 [ \u03b1, \u03b2 ]?
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