{"id":385,"date":"2017-05-29T16:27:26","date_gmt":"2017-05-29T14:27:26","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=385"},"modified":"2021-02-06T18:06:35","modified_gmt":"2021-02-06T17:06:35","slug":"uebung-09-04","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-09\/uebung-09-04\/","title":{"rendered":"\u00dc9-4: Hypothesen f\u00fcr L\u00e4ngenmessung"},"content":{"rendered":"\n

Bei einer Methode der L\u00e4ngenmessung mit einem Meterma\u00df werden zwei Grundmengen, die Hilfsbasismenge \"\mathbb{N}\" und drei Relationen \"\sim\", \"\preceq\" und \"\circ\" verwendet. Ein Messmodell, welches eine solche Messung beschreibt, hat die Form<\/p>\n\n\n\n

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\u2329 S, E<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\sim\", \"\preceq\", \"\circ\" \u232a.<\/p>

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S<\/em> ist eine Menge von St\u00e4ben, E<\/em> eine Menge von Einheitsst\u00e4ben, \"\sim\" ist eine \u00c4quivalenz<\/em>relation zwischen St\u00e4ben, \"\preceq\" ist die gr\u00f6\u00dfer<\/em>–gleich-<\/em>Relation zwischen St\u00e4ben, \"\circ\" ist die Konkatenation<\/em>srelation f\u00fcr St\u00e4be und \"\mathbb{N}\" ist die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen.Wir geben eine Liste von Hypothesen an, die ein Messmodell erf\u00fcllen muss.
1) S<\/em> und E<\/em> sind nicht-leere Mengen und E<\/em> \u2286 S<\/em>
2) \"\sim\" \u2282 S \u00d7 S
3) \u2200 a<\/em> \u2208 S<\/em> \u2200 b<\/em> \u2208 S<\/em> \u2200 c<\/em> \u2208 S<\/em> ( a<\/em> \"\sim\" b<\/em> \u2227 b<\/em> \"\sim\" c<\/em> \u2192 a<\/em> \"\sim\" c<\/em> )
4) \u2200 a<\/em> \u2208 S<\/em> ( a<\/em> \"\sim\" a<\/em> )
5) \u2200 a<\/em> \u2208 S<\/em> \u2203 b<\/em> \u2208 S<\/em> ( a<\/em> \"\sim\" b<\/em> ).
Mit diesen ersten Hypothesen lassen sich \u00c4quivalenzklassen wie folgt definieren:<\/p>\n\n\n\n

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F\u00fcr jedes a<\/em> \u2208 S<\/em> ist \"\tilde{a}\" = { b<\/em> \/ b<\/em> \u2208 S<\/em> \u2227 a<\/em> \"\sim\" b<\/em> } die \u00c4quivalenzklasse<\/em> von a<\/em>.<\/p>

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Aus den Mengen S<\/em> und E<\/em> entstehen so die Mengen \"\tilde{S}\" und die Mengen\"\tilde{E}\" von \u00c4quivalenzklassen.<\/p>\n\n\n\n

Weitere Hypothesen sind folgende:
6) \"\preceq\" \u2282 \"\tilde{S}\" \u00d7 \"\tilde{S}\"
7) \"\circ\" : (  \"\tilde{S}\" \u00d7 \"\tilde{S}\" ) \u2192 \"\tilde{S}\"
8) \"\preceq\" ist transitiv, reflexiv und konnex
9) \"\circ\" ist assoziativ
10) \u2200 \"\tilde{a}\" \u2208  \"\tilde{S}\" \u2200 \"\tilde{c}\" \u2208  \"\tilde{S}\" (  \"\tilde{a}\" \"\preceq\"  \"\tilde{a}\" \"\circ\"  \"\tilde{c}\" )
11) \u2200 \"\tilde{a}\" \u2208 \"\tilde{S}\" \u2200 \"\tilde{b}\" \u2208 \"\tilde{S}\" \u2200 \"\tilde{c}\" \u2208 \"\tilde{S}\" (  \"\tilde{a}\" \"\preceq\"  \"\tilde{b}\" \u2194  \"\tilde{a}\" \"\circ\"  \"\tilde{c}\" \"\preceq\"  \"\tilde{b}\" \"\circ\"  \"\tilde{c}\" \u2194  \"\tilde{c}\" \"\circ\"  \"\tilde{a}\" \"\preceq\"  \"\tilde{c}\" \"\circ\"  \"\tilde{b}\" )
12) \u2200 e<\/em> \u2208 E<\/em> \u2200 e<\/em> ‚ \u2208 E<\/em> (  \"\tilde{e}\" \"\sim\" \"\tilde{e}'\" )
13) \u2200 \"\tilde{a}\" \u2208 \"\tilde{S}\" \u2203 n<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\" \u2203 \"\tilde{e}_1\", …, \"\tilde{e}_n\" \u2208 \"\tilde{E}\" (  \"\tilde{a}\" = (  \"\tilde{e}_1\" \"\circ\" (  \"\tilde{e}_2\" … \"\circ\" \"\tilde{e}_n\" ) … ).<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Stellen Sie einige Beziehungen graphisch dar, die aus den Relationen \"\sim\", \"\preceq\", \"\circ\" stammen. Legen Sie drei Listen von Symbolen f\u00fcr St\u00e4be an, die aus drei \u00c4quivalenzklassen stammen.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Stellen Sie einige \u00c4quivalenzklassen durch Rechtecke dar. In den Rechtecken zeichnen Sie einige Punkte ein, die St\u00e4be darstellen sollen. Sie k\u00f6nnen auf diese Weise stichprobenartig die Hypothesen 3), 4) und 5) \u00fcberpr\u00fcfen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> In \u00e4hnlicher Weise k\u00f6nnen Sie die Hypothese 8) und 9) stichprobenartig \u00fcberpr\u00fcfen.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Interpretieren Sie Hypothesen 10) und 11) inhaltlich. (Hinweis: Was w\u00e4re, wenn die Hypothese 10) oder Hypothese 11) falsch w\u00e4re.)<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie zwei Einheitsma\u00dfst\u00e4be nebeneinander auf. Hypothese 13) beschreibt den in Abbildung 9.5 im Buch dargestellten Messvorgang. Versuchen Sie zu erkl\u00e4ren, welche Auswirkung die Gr\u00f6\u00dfe der Einheiten im Messvorgang hat.
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