{"id":387,"date":"2017-05-29T16:27:49","date_gmt":"2017-05-29T14:27:49","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=387"},"modified":"2021-02-04T16:05:43","modified_gmt":"2021-02-04T15:05:43","slug":"uebung-09-05","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-09\/uebung-09-05\/","title":{"rendered":"\u00dc9-5: Qualitative Ebene mit Zahlenebene verbinden"},"content":{"rendered":"\n

Bei einem Messmodell f\u00fcr L\u00e4ngenmessung gibt es einerseits immer qualitative Begriffe, mit denen reale Ereignisse, Dinge, Sachverhalte \u00abdirekt\u00bb in Ber\u00fchrung kommen. Andererseits werden die Gr\u00f6\u00dfen, die zum Schluss als Messwerte bestimmt werden, durch Zahlen ausgedr\u00fcckt.<\/p>\n\n\n\n

In \u00dc9-4 werden nur Hypothesen behandelt, die qualitative Relationen ( \"\sim\", \"\preceq\", \"\circ\" ) betreffen. Nur in der Hypothese 13) in \u00dc9-4:
13) \u2200 \"\tilde{a}\" \u2208 \"\tilde{S}\" \u2203 n<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\" \u2203 \"\tilde{e}_1\", …, \"\tilde{e}_n\" \u2208 \"\tilde{E}\" (  \"\tilde{a}\" = (  \"\tilde{e}_1\" \"\circ\" (  \"\tilde{e}_2\" … \"\circ\" \"\tilde{e}_n\" ) … )
kommen Zahlen \u00abversteckt\u00bb vor. Dort wird die Anzahl n<\/em> der Schritte in einem Existenzquantor \u2203 n <\/em>eingef\u00fchrt. An dieser Stelle kommt bei einem Modell ein mathematischer Bestandteil hinzu, n\u00e4mlich in diesem Fall die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen. Diese Menge funktioniert wissenschaftstheoretisch \u00e4hnlich wie eine Grundmenge. Nur werden die Axiome (die mathematischen Hypothesen) f\u00fcr diese Menge und f\u00fcr die zugeh\u00f6rigen Relationen nicht weiter beschrieben. Sie bleiben implizit.<\/p>\n\n\n\n

Um zu einem vollst\u00e4ndigen Messmodell zu kommen, muss eine Funktion \u03bb eingef\u00fchrt werden, die jedem Stab s<\/em> die zugeh\u00f6rige L\u00e4nge \u03bb ( s<\/em> ) zuordnet:<\/p>\n\n\n\n

\u03bb : S<\/em> \u2192 \"\mathbb{N}\".<\/p>\n\n\n\n

Diese Funktion soll beschreiben, wie lang ein Stab s<\/em> ist. Diese L\u00e4nge wird festgelegt, indem gez\u00e4hlt wird, wie viele Einheitsmessst\u00e4be an den Stab angelegt werden. Diese Zahl n<\/em> wird als Funktionswert \u03bb ( s<\/em> ) genommen: \u03bb ( s<\/em> ) = \u03bb ( e<\/em>1<\/sub> ) \"\circ\" … \"\circ\" \u03bb ( e<\/em>n<\/sub> ) = n.<\/p>\n\n\n\n

Im Buch sind drei Hypothesen (9.3) – (9.5) angegeben, in denen die Relation gr\u00f6\u00dfer als<\/em> (im ausschlie\u00dfenden Sinn) verwendet wird. s<\/em> \"\prec\" s<\/em> ‚ bedeutet, dass s<\/em> ‚ echt gr\u00f6\u00dfer (hier l\u00e4nger) als s<\/em> ist.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Formulierung sie die Hypothesen in \u00dc9-4 um, so dass dort nicht die Relationen \"\preceq\" und \u2264 sondern die Relationen \"\prec\" und < verwendet werden. Beschreiben Sie das neue System mengentheoretisch.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Beweisen Sie, dass aus den Hypothesen in \u00dc9-4 die von Ihnen gerade formulierten Hypothesen abgeleitet werden k\u00f6nnen. Und umgekehrt, dass aus den von Ihnen gerade formulierten Hypothesen die Hypothesen in \u00dc9-4 abgeleitet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Versuchen Sie in dem von Ihnen in a) beschriebenen System eine Funktion \u03bb explizit zu definieren, die von S<\/em> in \"\mathbb{N}\" f\u00fchrt. (Hinweis: Beschreiben Sie induktiv, wie ein Stab, der aus m<\/em> Einheitsst\u00e4ben besteht, durch einen weiteren Einheitsstab verl\u00e4ngert wird.)<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Versuchen Sie, die Hypothese (9.3) im echt gr\u00f6\u00dfer als<\/em> Sinn durch Ihr Definition aus c) zu  beweisen.<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Versuchen Sie, den Beweisversuch in d), graphisch durch ein Gegenbeispiel zu untermauern. (Hinweis: Verwenden Sie Abbildung 9.5 im Buch.)
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