{"id":411,"date":"2017-05-29T16:44:00","date_gmt":"2017-05-29T14:44:00","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=411"},"modified":"2019-03-18T09:55:18","modified_gmt":"2019-03-18T08:55:18","slug":"uebung-10-05","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-10\/uebung-10-05\/","title":{"rendered":"\u00dc10-5: Messmodelle mit stetigen Funktionen"},"content":{"rendered":"

Wir nehmen an, dass es in einem Messmodell eine Funktion f<\/em> von der Menge \"\mathbb{R}\" der reellen Zahlen in die Menge\u00a0\"\mathbb{R}\" gibt. Die Funktion f<\/em> hei\u00dft im Punkt<\/em> a<\/em>0<\/sub>\u00a0\u2208\u00a0\"\mathbb{R}\" stetig<\/em>, wenn folgendes gilt:<\/p>\n\n\n\n
\u2200\u00a0\u2208 > 0\u00a0\u2203\u00a0\u03b4 > 0\u00a0\u2200 b<\/em> ( | b<\/em> – a<\/em>0<\/sub> | <\u00a0\u03b5\u00a0\u2192 | f<\/em> ( b<\/em> ) – f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) | <\u00a0\u03b4 )<\/td>\n(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

f<\/em>\u00a0 hei\u00dft stetig<\/em>, wenn die Aussage (1) f\u00fcr alle Argumente a<\/em>0<\/sub> von f<\/em> gilt.
\nDie Menge { x<\/em> \/ x<\/em>\u00a0\u2208\u00a0\"\mathbb{R}\"\u00a0\u2227 | x<\/em> – a<\/em>0<\/sub> | <\u00a0\u03b5 } ist eine Umgebung<\/em> von a<\/em>0<\/sub>. Und die Menge { y<\/em> \/ y<\/em>\u00a0\u2208\u00a0\"\mathbb{R}\"\u00a0\u2227 | y<\/em> – f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) | <\u00a0\u03b4 } ist eine Umgebung<\/em> von f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ).<\/p>\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie die x<\/em>– und y<\/em>-Achsen, eine Funktion f<\/em> : \"\mathbb{R}\"\u00a0\u2192\u00a0\"\mathbb{R}\" und ein Argument a<\/em>0<\/sub> f\u00fcr f<\/em> auf. Zeichnen Sie um den Punkt a<\/em>0<\/sub> auf der x<\/em>-Achse eine \u03b5-Umgebung und um den Punkt f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) auf der y<\/em>-Achse eine \u03b4-Umgebung. Zeichnen Sie in der \u03b5-Umgebung einen Punkt b<\/em> und den dazugeh\u00f6rigen Punkt f<\/em> ( b<\/em> ) auf der y<\/em>-Achse ein. Verkleinern Sie die \u03b5-Umgebung so lange, bis b<\/em> nicht mehr in der \u03b5 ‚-Umgebung liegt. Zeichnen Sie einen weiteren Punkt c<\/em> in der \u03b5 ‚-Umgebung ein und schauen Sie, ob f<\/em> ( c<\/em> ) auf der y<\/em>-Achse noch in der \u03b4-Umgebung liegt. Wenn nicht, m\u00fcssen Sie eine kleinere \u03b4 ‚-Umgebung um f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) einzeichnen, um die Aussage (1) nicht falsch werden zu lassen.<\/p>\n

b)<\/strong> Formulieren Sie die Aussage (1) topologisch, so dass statt den Betragszeichen Symbole U<\/em>, U<\/em> ‚, … f\u00fcr Umgebungen f\u00fcr a<\/em>0<\/sub> und Symbole V<\/em>, V <\/em>‚, … f\u00fcr Umgebungen f\u00fcr f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) verwendet werden.<\/p>\n

c)<\/strong> Interpretieren Sie die Punkte in dem Koordinatensystem nicht mehr als Paare von reellen Zahlen, sondern als Punkte aus einem topologischen Raum. L\u00e4sst sich in dieser neuen Interpretation die Definition der Stetigkeit weiterverwenden?
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