{"id":415,"date":"2017-05-29T16:44:42","date_gmt":"2017-05-29T14:44:42","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=415"},"modified":"2021-02-04T16:12:02","modified_gmt":"2021-02-04T15:12:02","slug":"uebung-10-07","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-10\/uebung-10-07\/","title":{"rendered":"\u00dc10-7: Ein zentrales Axiom f\u00fcr reelle Zahlen"},"content":{"rendered":"\n

Der reelle Zahlenraum \"\mathbb{R}\" l\u00e4sst sich durch ein Modell \u2329 R<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1 \u232a beschreiben. R<\/em> ist die Menge der reellen Zahlen.
In der Menge der reellen Zahlen werden offen, geschlossene und halboffene Intervalle wie folgt definiert:
] a<\/em>, b<\/em> [ ist ein offenes<\/em> Intervall: ] a<\/em>, b<\/em> [ = { x<\/em> \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> < x<\/em> < b<\/em> }
[ a<\/em>, b<\/em> ] ist ein geschlossenes<\/em> Intervall: [ a<\/em>, b<\/em> ] = { x<\/em> \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> \u2264 x<\/em> \u2264 b<\/em> }
] a<\/em>, b<\/em> ] ist ein links halboffenes<\/em> Intervall ] a<\/em>, b<\/em> ] = { x<\/em> \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> < x<\/em> \u2264 b<\/em> }
[ a<\/em>, b<\/em> [ ist ein rechts halboffenes<\/em> Intervall [ a<\/em>, b<\/em> [ = { x<\/em> \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> \u2264 x<\/em> < b<\/em> }.
Ein Intervall kann links oder\/und rechts ins Unendliche gehen:
] a<\/em>, \u221e [ = { x \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> < x }
] \u221e, a<\/em> [ = { x \u2208 R<\/em> \/ x<\/em> < a<\/em> }
[ a<\/em>, \u221e [ = { x \u2208 R<\/em> \/ a<\/em> \u2264 x<\/em> }
] \u221e, a<\/em> ] = { x<\/em> \u2208 R<\/em> \/ x<\/em> \u2264 a<\/em> }
Folgendes Axiom hebt den reellen Zahlenraum von anderen Zahlenr\u00e4umen hervor:<\/p>\n\n\n\n

\u2200 X<\/em> \u2286 R<\/em> \u2200 Y<\/em> \u2286 R<\/em> ( \u2200 a<\/em> \u2208 X<\/em> \u2200 b<\/em> \u2208 Y<\/em> ( a<\/em> < b<\/em> \u2192 \u2203 c<\/em> \u2208 R<\/em> ( \u2200 v<\/em> \u2208 R<\/em> \u2200 w<\/em> \u2208 R<\/em> ( v<\/em> \u2208 X<\/em> \u2227 w<\/em> \u2208 Y<\/em> \u2227 a<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 b<\/em> \u2260 c<\/em> \u2192 v<\/em> < c<\/em> \u2227 c<\/em> < w<\/em> ) ) )<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beschreiben Sie dieses Axiom informell.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Stellen Sie f\u00fcr zwei bestimmte Mengen X<\/em> und Y<\/em> das Axiom graphisch dar.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie ein rechts halboffenes Intervall und ein links halboffenes Intervall so ein, dass die rechte und die linke Grenze beider Intervalle identisch sind. Interpretieren Sie das Axiom. (Hinweis: c<\/em> muss zwischen beiden Intervall liegen. Dies ist so festgesetzt.)
<\/p>\n\n\n