{"id":419,"date":"2017-05-29T16:45:27","date_gmt":"2017-05-29T14:45:27","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=419"},"modified":"2021-02-09T21:16:52","modified_gmt":"2021-02-09T20:16:52","slug":"uebung-11-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-11\/uebung-11-01\/","title":{"rendered":"\u00dc11-1: Vereinigungs- und Durchschnittsbildung"},"content":{"rendered":"\n

Zwei Mengen X<\/em> und Y<\/em> werden vereinigt, indem eine neue Menge Z<\/em> gebildet wird, deren Element aus X<\/em> oder aus Y<\/em> stammen: Z<\/em> = X<\/em> \u222a Y<\/em>. Die Vereinigung von zwei Mengen entspricht sprachlich der Verbindung von S\u00e4tzen oder Ausdr\u00fccken, welche sich syntaktisch durch das Wort oder<\/em> verbinden lassen.<\/p>\n\n\n\n

Die Elemente aus der Menge X<\/em> k\u00f6nnen direkt bezeichnet werden oder sie werden durch eine Formel \"\cal A\" ausgedr\u00fcckt, welche eine Variable x<\/em> enth\u00e4lt.<\/p>\n\n\n\n

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(a) X<\/em> = { a<\/em>1<\/sub>, …, am<\/sub><\/em> }
oder
(b) X<\/em> = { x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) }.<\/p>

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Die Menge X<\/em> k\u00f6nnte konkret z.B. so aussehen { Peter<\/em>, Udo<\/em>, Karl<\/em>, Hans<\/em> }. Die Formel \"\cal A\" ( x<\/em> ) k\u00f6nnte z.B. konkret so aussehen: \u00abx<\/em> ist ein deutscher, m\u00e4nnlicher Name\u00bb.
Die Vereinigung Z<\/em> von Mengen X<\/em> und Y<\/em> in der Variante (a) wird so geschrieben:<\/p>\n\n\n\n

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{ a<\/em>1<\/sub>, …, am<\/sub><\/em>, b<\/em>1<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em> } = { a<\/em>1<\/sub>, …, am<\/sub><\/em> } \u222a { b<\/em>1<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em> }.<\/p>

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Dabei k\u00f6nnen zwei Symbole ai<\/sub><\/em>, bj<\/sub><\/em> dasselbe Element ausdr\u00fccken: ai<\/sub><\/em> = bj<\/sub><\/em>. In solchen F\u00e4llen kann man ai<\/sub><\/em> oder bj<\/sub><\/em> schreiben.<\/p>\n\n\n\n

Die Vereinigung zweier Mengen X<\/em> = { x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) } und Y<\/em> = { x<\/em> \/ \"\cal B\" ( x<\/em> ) } wird so ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n\n\n\n

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{ x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) \u2228 \"\cal B\" ( x<\/em> ) } = { x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) } \u222a { x \/ \"\cal B\" ( x<\/em> ) }.<\/p>

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Auf dieselbe Weise wird der Durchschnitt<\/em> von X<\/em> und Y<\/em> gebildet: Z<\/em> = X<\/em> \u2229 Y. Der Durchschnitt von zwei Mengen entspricht sprachlich der Verbindung von S\u00e4tzen oder Ausdr\u00fccken, welche sich syntaktisch durch das Wort und<\/em> verbinden lassen.<\/p>\n\n\n\n

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{ a<\/em>1<\/sub>, …, am<\/sub><\/em>, b<\/em>1<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em> } = { a<\/em>1<\/sub>, …, am<\/sub><\/em> } \u2229 { b<\/em>1<\/sub>, …, bn<\/sub><\/em> }.
{ x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) \u2227 \"\cal B\" ( x<\/em> ) } = { x<\/em> \/ \"\cal A\" ( x<\/em> ) } \u2229 { x \/ \"\cal B\" ( x<\/em> ) }.<\/p>

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a)<\/strong> { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>3<\/sub>, a<\/em>4<\/sub>, a<\/em>5<\/sub>, a<\/em>6<\/sub>, a<\/em>7<\/sub>, a<\/em>8<\/sub> } und { b<\/em>1<\/sub>, b<\/em>2<\/sub>, b<\/em>3<\/sub>, b<\/em>4<\/sub>, b<\/em>5<\/sub>, b<\/em>6<\/sub>, b<\/em>7<\/sub>, b<\/em>8<\/sub>, b<\/em>9<\/sub> } sind Mengen. Wir legen fest, dass a<\/em>4<\/sub> = b<\/em>2<\/sub> und b<\/em>8<\/sub> = a<\/em>7<\/sub> gilt. Schreiben Sie die Vereinigung der beiden Mengen so, dass keine Elemente aus der Vereinigung doppelt vorkommen.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Wie w\u00fcrden Sie die Vereinigung von { Peter<\/em>, Udo<\/em>, Karl<\/em>, Hans<\/em> } und der Menge { x<\/em> \/ x<\/em> ist ein deutscher, m\u00e4nnlicher Name } schreiben?<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Bilden Sie den Durchschnitt von { 2, 5422, 34, 555, 3, 13467, 0, 43, 54 } und { Peter<\/em>, 555, Hans<\/em>, 43, Karl<\/em>, 22, Udo<\/em>, 48 }.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie drei kreisf\u00f6rmige Figuren, die sich so schneiden, dass es erstens Elemente gibt, die in allen drei Mengen zu finden sind und zweitens, dass in jeder Figur auch Elemente zu finden sind, die nicht im Durchschnitt der drei Mengen liegen.
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