{"id":434,"date":"2017-05-29T17:35:20","date_gmt":"2017-05-29T15:35:20","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=434"},"modified":"2019-03-18T10:07:45","modified_gmt":"2019-03-18T09:07:45","slug":"uebung-11-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-11\/uebung-11-02\/","title":{"rendered":"\u00dc11-2: Binomialverteilung"},"content":{"rendered":"

Die einfachste Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wir kennen, verteilt zwei m\u00f6gliche, gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Das einfachste Beispiel kennt jeder: der M\u00fcnzwurf. Die beiden
\nM\u00f6glichkeiten: Kopf oder Zahl, treten mit derselben Wahrscheinlichkeit 1\/2 auf, was sich in der Realit\u00e4t auch anders darstellen kann.
\nDie M\u00fcnze und die Ausf\u00fchrungsmethode kann zu gleichverteilten Resultaten f\u00fchren. Der M\u00fcnzwurf mit derselben M\u00fcnze kann mit demselben Mechanismus beliebig wiederholt werden. Wenn der M\u00fcnzwurf genau n<\/em> Mal wiederholt wird, l\u00e4sst sich fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass das Resultat \u00abKopf\u00bb genau k<\/em> Mal ( k<\/em>\u00a0\u2264 n<\/em> ) auftritt. Dies wird mit der Zufallsvariable f<\/em> ( x<\/em> ) beantwortet:<\/p>\n\n\n\n
<\/td>\n\"f(x) = {n \choose k} (1/2)^k (1/2)^{n-k}\"<\/td>\n(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Ein Elementarereignis x<\/em> besteht in diesem Fall aus einer Folge von n<\/em> durchgef\u00fchrten M\u00fcnzw\u00fcrfen mit derselben M\u00fcnze und mit derselben Technik der Ausf\u00fchrung. Die Zahl k<\/em> besagt, dass bei diesem Experiment \u00abKopf\u00bb genau k<\/em> Mal oben lag. Die Zahl, die auf der rechten Seite der Gleichung (1) steht, l\u00e4sst sich in diesem Fall direkt als Wahrscheinlichkeit verstehen, n\u00e4mlich die Wahrscheinlichkeit wie oft \u00abKopf\u00bb tats\u00e4chlich eintritt.<\/p>\n

a)<\/strong> In Abbildung 11-2 im Buch wird eine Binomialverteilung dargestellt. Interpretieren Sie dort ein Elementarereignis durch einen Pfad in dem Baum und identifizieren Sie die Symbole A<\/em> und B<\/em> im M\u00fcnzwurf-Beispiel.<\/p>\n

b)<\/strong> Die Interpretation der Abbildung 11-2 lautet in dieser hier beschriebenen \u00dcbung wie folgt: 4 M\u00fcnzw\u00fcrfe werden nacheinander ausgef\u00fchrt. Z\u00e4hlen Sie die Anzahl m<\/em> der m\u00f6glichen Pfade und z\u00e4hlen Sie in jedem Pfad, wie viele A-<\/em>Elemente m\u00f6glich sind. Notieren Sie diese Zahlen g<\/em>1<\/sub>, g<\/em>2<\/sub>, ….<\/p>\n

c)<\/strong> Bestimmen Sie, wie viele Pfade dieselbe Anzahl gi<\/sub><\/em> von A<\/em>-Elementen enthalten und notieren Sie die Anzahl kr<\/sub><\/em> dieser Pfade.<\/p>\n

d)<\/strong> Interpretieren Sie zwei solche Br\u00fcche kr <\/sub><\/em>\/ m.<\/p>\n

e)<\/strong> Was passiert, wenn die M\u00fcnze manipuliert ist? \u00c4ndern sich die Zahlen gi<\/sub><\/em> und kr<\/sub><\/em>?
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