{"id":438,"date":"2017-05-29T17:36:08","date_gmt":"2017-05-29T15:36:08","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=438"},"modified":"2021-02-09T21:19:28","modified_gmt":"2021-02-09T20:19:28","slug":"uebung-11-04","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-11\/uebung-11-04\/","title":{"rendered":"\u00dc11-4: Boolescher Verband"},"content":{"rendered":"\n

Ein Boole<\/em>scher Verband<\/p>\n\n\n\n

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x<\/em> = \u2329 \"\cal A\", 0<\/strong>, 1<\/strong>, c<\/sup>, \u2229, \u222a \u232a<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

besteht aus einer Menge \"\cal A\" von \u00abObjekten\u00bb, aus zwei speziellen Objekten 0<\/strong> und 1<\/strong>, aus zwei zweistelligen Funktionen \u2229 und \u222a, welche Paare von Objekten in ein anderes Objekt \u00fcberf\u00fchren und eine einstellige Funktion c<\/sup>, die jede Menge in das jeweilige Komplement \u00fcberf\u00fchrt:<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

c<\/sup> : \"\cal A\" \u2192 \"\cal A\", \u2229 : \"\cal A\" \u00d7 \"\cal A\" \u2192 \"\cal A\", \u222a : \"\cal A\" \u00d7 \"\cal A\" \u2192 \"\cal A\" und 0<\/strong> \u2208 \"\cal A\" und 1<\/strong> \u2208 \"\cal A\".<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

Die Funktionen \u2229 und \u222a werden in einer speziellen Weise geschrieben. Statt \u2229 ( A<\/em>, B<\/em> ) wird A<\/em> \u2229 B<\/em>, statt \u222a ( A<\/em>, B<\/em> ) wird A<\/em> \u222a B<\/em> und statt c<\/sup> ( A<\/em> ) wird A<\/em> c<\/sup> geschrieben.<\/p>\n\n\n\n

Ein Boole<\/em>scher Verband erf\u00fcllt verschiedene Hypothesen.<\/p>\n\n\n\n

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\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 B<\/em> = B<\/em> \u2229 A<\/em> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u222a B<\/em> = B<\/em> \u222a A<\/em> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 C<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( ( A<\/em> \u2229 B <\/em>) \u2229 C<\/em> = A <\/em>\u2229 ( B<\/em> \u2229 C<\/em> ) )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 C<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( ( A<\/em> \u222a B<\/em> ) \u222a C<\/em> = A<\/em> \u222a ( B<\/em> \u222a C<\/em> ) )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u222a ( A<\/em> \u2229 B<\/em> ) = A<\/em> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 ( A<\/em> \u222a B<\/em> ) = A<\/em> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 0<\/strong> =  0<\/strong> \u2227 A<\/em> \u222a 0<\/strong> = A<\/em> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 1<\/strong> = A<\/em> \u2227 A<\/em> \u222a 1<\/strong> = 1<\/strong> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 A<\/em> c<\/sup> = 0<\/strong> \u2227 A<\/em> \u222a A c<\/sup> = 1<\/strong> )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 C<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u2229 ( B<\/em> \u222a C<\/em> ) = ( A<\/em> \u2229 B<\/em> ) \u222a ( A<\/em> \u2229 C<\/em> ) )
\u2200 A<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 B<\/em> \u2208 \"\cal A\" \u2200 C<\/em> \u2208 \"\cal A\" ( A<\/em> \u222a ( B<\/em> \u2229 C<\/em> ) = ( A<\/em> \u222a B<\/em> ) \u2229 ( A<\/em> \u222a C<\/em> ) ).<\/p>

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In der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die Objekte A<\/em> \u2208 \"\cal A\" Mengen, die alle Teilmengen aus einer anderen Menge \u03a9 sind: A<\/em> \u2286 \u03a9. In diesen Anwendungen lassen sich die Funktionen \u2229 und \u222a als mengentheoretische Vereinigung und Durchschnitt und die Konstanten 0<\/strong> und 1<\/strong> als spezielle Teilmengen von \u03a9 interpretieren: 0<\/strong> = \"\emptyset\" und 1<\/strong> = \u03a9.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie Menge \u03a9 als Rechteck. Identifizieren Sie die Teilmengen 0<\/strong> und 1<\/strong>. Zeichnen Sie drei Teilmengen A<\/em>, B<\/em>, C<\/em> ein, welche sich \u00fcberlappen. \u00dcberpr\u00fcfen Sie, ob die oben aufgeschriebenen Hypothesen gelten?<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Versuchen Sie den \u00abkleinsten\u00bb Boole<\/em>schen Verband zu finden. (Hinweis: Die Objekte 0<\/strong> und 1<\/strong> sind in jedem Boole<\/em>schen Verband zu finden.)<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie die Menge \u03a9 als Rechteck und teilen Sie das Rechteck in jeweils 5 disjunkte Teilmengen. Wiederholen Sie dies mit drei weiteren disjunkten Teilmengen, so dass keine der Teilmengen identisch mit einer anderen Teilmenge ist.
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