{"id":469,"date":"2017-05-29T22:01:44","date_gmt":"2017-05-29T20:01:44","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=469"},"modified":"2023-02-21T13:09:44","modified_gmt":"2023-02-21T12:09:44","slug":"ver","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/mathematik\/ver\/","title":{"rendered":"Theorie der Verb\u00e4nde (VER)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmenge<\/strong>
O   <\/em>Menge von Objekten<\/p>\n\n\n\n

Relationen<\/strong>
\u2229<\/strong>\u00a0\u00a0 Durchschnitt
\u222a\u00a0\u00a0 Vereinigung<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
0   Nullelement
1   Einselement<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03981<\/sub>\u00a0\u00a0 \u2229<\/strong>\u00a0\u2208 \"\cal FUN\" ( O<\/em>\u00a0\u00d7 O<\/em> : O <\/em>)
\u03982<\/sub>\u00a0\u00a0 \u222a\u00a0\u2208 \"\cal FUN\" ( O<\/em>\u00a0\u00d7 O<\/em> : O <\/em>)
\u03983<\/sub>\u00a0\u00a0 0\u00a0\u2208 O<\/em>
\u03984<\/sub>\u00a0\u00a0 1\u00a0\u2208 O
<\/em>
Hypothesen<\/strong>
F\u00fcr alle a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>\u00a0\u2208 O<\/em> gilt:
H<\/em>1\u00a0\u00a0 <\/sub>a<\/em>\u00a0\u2229<\/strong> b<\/em> =\u00a0b<\/em>\u00a0\u2229<\/strong> a<\/em>
H<\/em>2\u00a0\u00a0 <\/sub>a<\/em>\u00a0\u222a b<\/em> =\u00a0b<\/em>\u00a0\u2229<\/strong> a<\/em>
H<\/em>3\u00a0\u00a0 <\/sub>(\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 b<\/em> )\u00a0\u2229 c<\/em> =\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 (\u00a0b<\/em>\u00a0\u2229 c<\/em> )
H<\/em>4\u00a0\u00a0 <\/sub>(\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a b<\/em> )\u00a0\u222a c<\/em> =\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a (\u00a0b<\/em>\u00a0\u222a c<\/em> )
H<\/em>5\u00a0\u00a0<\/sub>\u00a0a<\/em><\/span>\u00a0\u2229 (\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a b<\/em> ) = a<\/em>
H<\/em>6\u00a0\u00a0<\/sub>\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a (\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 b<\/em> ) = a<\/em>
H<\/em>7\u00a0\u00a0<\/sub>\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 0 = 0\u00a0\u2227 a<\/em>\u00a0\u222a 0 = a<\/em>
H<\/em>8\u00a0\u00a0<\/sub>\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 1 =\u00a0a<\/em>\u00a0\u2227 a<\/em>\u00a0\u222a 1 = 1
H<\/em>9\u00a0\u00a0\u00a0<\/sub>\u2203 a <\/em>c<\/em><\/sup> (\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229\u00a0a c<\/sup><\/em> = 0\u00a0\u2227 a<\/em>\u00a0\u222a\u00a0a c<\/sup><\/em> = 1 )
H<\/em>10\u00a0\u00a0<\/sub>a<\/em>\u00a0\u2229 (\u00a0b<\/em>\u00a0\u222a c<\/em> ) = (\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 b<\/em> )\u00a0\u222a (\u00a0a<\/em>\u00a0\u2229 c<\/em> )
H<\/em>11\u00a0\u00a0<\/sub>a<\/em>\u00a0\u222a (\u00a0b<\/em>\u00a0\u2229 c<\/em> ) = (\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a b<\/em> )\u00a0\u2229 (\u00a0a<\/em>\u00a0\u222a c<\/em> )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein komplement\u00e4rer, distributiver Verband mit Null und Eins gdw es 0, 1 und Mengen O<\/em>, \u2229, \u222a gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x = \u2329 O<\/em>, \u2229, \u222a, 0, 1 \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Relationen und Konstanten haben die Typen \u03981<\/sub>, …, \u03984 <\/sub>
und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( O<\/em>, \u2229, \u222a, 0, 1 ), …, H<\/em>11<\/sub> ( O<\/em>, \u2229, \u222a, 0, 1 ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(VER)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Varianten<\/strong>
Ein allgemeiner<\/em> Verband erf\u00fcllt nur H<\/em>1<\/sub>, …, H<\/em>6<\/sub>
Ein Verband mit Null und Eins erf\u00fcllt H<\/em>1<\/sub>, …, H<\/em>8<\/sub>
Ein komplement\u00e4rer Verband erf\u00fcllt H<\/em>1<\/sub>, …, H<\/em>9<\/sub>,
Ein Boolescher Verband erf\u00fcllt H<\/em>1<\/sub>, …, H<\/em>11<\/sub><\/p>\n\n\n\n

Beispiele<\/strong>
– Systeme von Ausdr\u00fccken in nat\u00fcrlichen Sprachen
– Systeme von mathematischen Objekten<\/p>\n\n\n