{"id":475,"date":"2017-05-29T22:03:19","date_gmt":"2017-05-29T20:03:19","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=475"},"modified":"2023-02-17T19:28:23","modified_gmt":"2023-02-17T18:28:23","slug":"kop","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/mathematik\/kop\/","title":{"rendered":"Theorie der K\u00f6rper (KOP)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmenge<\/strong>
K<\/em>   Menge von Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Relation<\/strong>
<   \u00abkleiner als\u00bb f\u00fcr Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Funktionen<\/strong>
+   Additionsfunktion
\u22c5    Multiplikationsfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
0   die Zahl \u00abNull\u00bb
1   die Zahl \u00abEins\u00bb
-1  die Zahl \u00abMinus Eins\u00bb<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   < \u2208 \u2118 ( K<\/em> \u00d7 K<\/em> )
\u03b82<\/sub>   + \u2208 \"\cal FUN\" (K<\/em> \u00d7 K<\/em> : K<\/em> )
\u03b83<\/sub>   \u22c5 \u2208 \"\cal FUN\" ( K<\/em> \u00d7 K<\/em> : K<\/em> )
\u03b84<\/sub>   0 \u2208 K<\/em>
\u03b85<\/sub>   1 \u2208 K<\/em>
\u03b86<\/sub>  -1 \u2208 K<\/em><\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
F\u00fcr alle a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 K<\/em>
H<\/em>1   <\/sub>( a<\/em> + b<\/em> ) + c<\/em> = a<\/em> + ( b<\/em> + c<\/em> )
H<\/em>2   <\/sub>a<\/em> + 0 = a<\/em>
H<\/em>3   <\/sub>a<\/em> + ( – 1 \u22c5 a<\/em> ) = 0
H<\/em>4   <\/sub>a<\/em> + b<\/em> = b<\/em> + a<\/em>
H<\/em>5   <\/sub>( a<\/em> \u22c5 b<\/em> ) \u22c5 c<\/em> = a<\/em> \u22c5 ( b<\/em> \u22c5 c<\/em> )
H<\/em>6   <\/sub>a<\/em> \u22c5 1 = a<\/em>
H<\/em>7   <\/sub>a<\/em> \u2260 0 \u2192 \u2203 e<\/em> \u2208 K<\/em> ( a<\/em> \u22c5 e<\/em> = 1 )
H<\/em>8   <\/sub>a<\/em> \u22c5 b<\/em> = b<\/em> \u22c5 a<\/em>
H<\/em>9   <\/sub>a<\/em> \u22c5 ( b<\/em> + c<\/em> ) = ( a<\/em> \u22c5 b<\/em> ) + ( a<\/em> \u22c5 c<\/em> )
H<\/em>10  <\/sub>0 \u2260 1
H<\/em>11  <\/sub>\u00ac ( a<\/em> < a<\/em> )
H<\/em>12  <\/sub>a<\/em> < b<\/em> \u2192 b<\/em> < c<\/em> \u2192 a<\/em> < c<\/em>
H<\/em>13  <\/sub>a<\/em> < b<\/em> \u2228 a<\/em> = b<\/em> \u2228 b<\/em> < a<\/em>
H<\/em>14  <\/sub>a<\/em> < b<\/em> \u2192 a<\/em> + c<\/em> < b<\/em> + c<\/em>
H<\/em>15  <\/sub>0 < a<\/em> \u2192 0 < b<\/em> \u2192 0 < a<\/em> \u22c5 b<\/em>
H<\/em>16  <\/sub>\u2203 e<\/em> \u2208 K<\/em> ( a<\/em> < e<\/em> < b<\/em> )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Modell der K\u00f6rper M(KOP)<\/strong> gdw es 0, 1, -1 und Mengen K<\/em>, <, +, \u22c5 gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x = \u2329 K<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1, -1 \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Komponenten\u00a0<, +,\u00a0\u22c5, 0, 1, -1 haben die Typen \u03b81<\/sub>, …, \u03b83 <\/sub>und die Hypothesen\u00a0H<\/em>1<\/sub> ( K<\/em>, <, +,\u00a0\u22c5 , 0, 1, -1 ) und … und\u00a0H<\/em>16<\/sub> ( K<\/em>, <, +,\u00a0\u22c5, 0, 1, -1 ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\nTransformationen<\/strong><\/span>

\n1) ta   <\/sub><\/em>(Translation)<\/p>\n

ta <\/sub><\/em>: K<\/em> \u2192 K<\/em>, a<\/em> \u2208 K<\/em>, \u2200 u<\/em> \u2208 K<\/em> ( ta<\/sub><\/em> ( u<\/em> ) = u<\/em> + a<\/em> )<\/p>\n

2) da   <\/sub><\/em>(Dilatation)<\/p>\n

da<\/sub><\/em> : K<\/em> \u2192 K<\/em>, a<\/em> \u2208 K<\/em>, \u2200 u<\/em> \u2208 K<\/em> ( da<\/sub><\/em> ( u<\/em> ) = a<\/em> \u22c5 u<\/em> )<\/p>\n

3) iso<\/em>   (Isomorphismus)<\/p>\n

iso<\/em> : K<\/em> \u2192 K<\/em>, iso<\/em> ist bijektiv und es gilt:
\nF\u00fcr alle a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 K<\/em>: wenn H<\/em>1<\/sub> – H<\/em>16<\/sub> gelten, dann gelten H<\/em>1<\/sub> – H<\/em>16<\/sub> auch, wenn a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> jeweils durch iso<\/em> ( a<\/em> ), iso <\/em>( b<\/em> ), iso<\/em> ( c<\/em> ) ersetzt werden.<\/p>\n<\/div>\n\n\n