{"id":478,"date":"2017-05-29T22:04:00","date_gmt":"2017-05-29T20:04:00","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=478"},"modified":"2023-02-17T19:30:05","modified_gmt":"2023-02-17T18:30:05","slug":"ree","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/mathematik\/ree\/","title":{"rendered":"Theorie der reellen Zahlen (REE)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmenge<\/strong>
R<\/em>   Menge der reellen Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Relation<\/strong>
<   \u00abkleiner als\u00bb f\u00fcr Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Funktionen<\/strong>
+   Additionsfunktion
\u22c5    Multiplikationsfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
0   die Zahl \u00abNull\u00bb
1   die Zahl \u00abEins\u00bb<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   < \u2208 \u2118 ( R<\/em> \u00d7 R<\/em> )
\u03b82<\/sub>   + \u2208 \"\cal FUN\" ( R<\/em> \u00d7 R<\/em> : R<\/em> )
\u03b83<\/sub>   \u22c5  \u2208 \"\cal FUN\" ( R<\/em> \u00d7 R<\/em> : R<\/em> )
\u03b84<\/sub>   0 \u2208 R<\/em>
\u03b85<\/sub>   1 \u2208 R<\/em><\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1   <\/sub>\u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2192 a<\/em> < b<\/em> \u2228 b<\/em> < a<\/em> )
H<\/em>2   <\/sub>\u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> < b<\/em> \u2192 \u00ac ( b<\/em> < a<\/em> ) )
H<\/em>3   <\/sub>\u2200 a<\/em>, c<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> < c<\/em> \u2192 \u2203 b<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> < b<\/em> \u2227 b<\/em> < c<\/em> ) )
H<\/em>4   <\/sub>\u2200 X<\/em> \u2286 R<\/em> \u2200 Y<\/em> \u2286 R<\/em> ( \u2200 a<\/em> \u2208 X<\/em> \u2200 b<\/em> \u2208 Y<\/em> ( a<\/em> < b<\/em> ) \u2192 \u2203 c<\/em> \u2208 R<\/em> ( \u2200 v<\/em> \u2208 R<\/em> \u2200 w<\/em> \u2208 R<\/em> ( v<\/em> \u2208 X<\/em> \u2227 w<\/em> \u2208 Y<\/em> \u2227 a<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 b<\/em> \u2260 c<\/em> \u2192 v<\/em> < c<\/em> \u2227 c<\/em> < w<\/em> ) ) )
H<\/em>5   <\/sub>\u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> + ( b<\/em> + c<\/em> ) = ( a<\/em> + b<\/em> ) + c<\/em> )
H<\/em>6   <\/sub>\u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 R<\/em> \u2203 c<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> = b<\/em> + c<\/em> )
H<\/em>7   <\/sub>\u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, e<\/em> \u2208 R<\/em> ( a<\/em> + b<\/em> < c<\/em> + e<\/em> \u2192 a<\/em> < b<\/em> \u2228 c<\/em> < e<\/em> )
H<\/em>8   <\/sub>1 \u2208 R<\/em>
H<\/em>9   <\/sub>1 < 1 + 1
H<\/em>10   <\/sub>\u2329 R<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1 \u232a ist ein K\u00f6rper
H<\/em>1 <\/sub>– H<\/em>9<\/sub> finden sich in: Tarski, A. 1977: Einf\u00fchrung in die mathematische Logik<\/em>, (5. Aufl.), G\u00f6ttingen, Vandenhoek & Ruprecht, S. 219 – 227.<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Modell der reellen Zahlen M(REE)<\/strong> gdw es 0, 1 und Mengen R<\/em>, <, +, \u22c5 gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 R<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1 \u232a<\/p><\/p>\n\n\n\n

und die Relationen, Funktionen und Konstanten haben die Typen \u03b81<\/sub>, …, \u03b85 <\/sub>und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( R<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1 ) und … und H<\/em>10<\/sub> ( R<\/em>, <, +, \u22c5, 0, 1 ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(REE)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiel<\/strong>
– \u00abdie\u00bb Menge der reellen Zahlen<\/p>\n\n\n