{"id":487,"date":"2017-05-29T22:07:03","date_gmt":"2017-05-29T20:07:03","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=487"},"modified":"2023-02-20T20:29:11","modified_gmt":"2023-02-20T19:29:11","slug":"mon","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/mathematik\/mon\/","title":{"rendered":"Theorie des Monoids (MON)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmenge<\/strong>
F<\/em>   Menge von Symbolen<\/p>\n\n\n\n

Hilfsbasismenge<\/strong>
\"\mathbb{N}\"   die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Relation<\/strong>
E<\/em>   Menge der Elementarsymbole<\/p>\n\n\n\n

Funktionen<\/strong>
\u2217   Konkatenationsfunktion
\u03b7   Koeffizientenfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
\u039b   Symbol f\u00fcr Leerstelle
n<\/em>   die Anzahl der Elementarsymbole<\/p>\n\n\n\n

Definitionen<\/strong>
\"\mathbb{N}\"n<\/em><\/sub> = { 1, 2, 3, …, n<\/em> }
s<\/em>1<\/sub> \u2217 … \u2217 sr<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u2217 ( s<\/em>1<\/sub>, … \u2217 ( sr<\/sub><\/em>-2<\/sub>, \u2217 ( sr<\/sub><\/em>-1<\/sub>, sr<\/sub><\/em>) ) … )
\u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) = mi<\/sub><\/em>
\u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr mi<\/sub><\/em>-malige Anwendung von \u2217. Dabei ist \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) = mi<\/sub><\/em> und \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> = \u2217 ( ei<\/sub><\/em>, …\u2217 ( ei<\/sub><\/em>, \u2217 ( ei<\/sub><\/em>, ei<\/sub><\/em> ) … ) )
\"\Sigma^*_{i=1,...,n}\" \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u03b7 ( 1, \u0393 ) e1<\/sub><\/em> \u2217 … \u2217 \u03b7 ( n<\/em>, \u0393 ) en
<\/sub><\/em>
Typisierungen<\/strong>
\u03981<\/sub>   n<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\"
\u03982<\/sub>   \u2217 \u2208 \"\cal FUN\" ( F<\/em> \u00d7 F<\/em> : F<\/em> )
\u03983<\/sub>   \u03b7 \u2208 \"\cal FUN\" ( \"\mathbb{N}\"n<\/em><\/sub> \u00d7 F<\/em> : \"\mathbb{N}\" )
\u03984<\/sub>   \u039b \u2208 F<\/em>
\u03985<\/sub>   E \u2208 \u2118 ( F<\/em> )<\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1   <\/sub>0 < n<\/em>
H<\/em>2<\/sub>  \u2203 e<\/em>1<\/sub>, …, en<\/sub><\/em> \u2286 F<\/em> ( E<\/em> = { e<\/em>1<\/sub>, …, en<\/sub><\/em> } )
H<\/em>3<\/sub>  \u2217 ist assoziativ und kommutativ
H<\/em>4<\/sub>   \u2200 \u0393 \u2208 F ( \u0393 = \"\Sigma^*_{i=1,...,n}\" \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> )
H<\/em>5<\/sub>   \u2200 \u0393 \u2208 F ( \u0393 \u2217 \u039b = \u039b \u2217 \u0393 = \u0393 )
H<\/em>6<\/sub>   \u2200 \u03931<\/sub>, \u03932<\/sub> \u2208 F ( \u03931<\/sub> \u2260 \u039b \u2260 \u03932<\/sub> \u2192 \u03932<\/sub> \u2260 \u03931<\/sub> \u2217 \u03932<\/sub> \u2260 \u03931<\/sub> )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Monoid gdw es n<\/em>, \u039b und Mengen F<\/em>, E<\/em>, \u2217, \u03b7 gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 F<\/em>, \"\mathbb{N}\", \u039b, n<\/em>, E<\/em>, \u2217, \u03b7 \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Relationen, Funktionen und Konstanten haben die Typen \u03981<\/sub>,  …, \u03985<\/sub> und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( F<\/em>, \"\mathbb{N}\", \u039b, n<\/em>, E<\/em>, \u2217, \u03b7 ), …, H<\/em>6<\/sub> ( F<\/em>, \"\mathbb{N}\", \u039b, n<\/em>, E<\/em>, \u2217, \u03b7 ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(MON)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiel<\/strong>
– System von chemischen Formeln<\/p>\n\n\n