{"id":503,"date":"2017-05-29T22:27:34","date_gmt":"2017-05-29T20:27:34","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=503"},"modified":"2023-02-17T21:06:39","modified_gmt":"2023-02-17T20:06:39","slug":"geo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/naturwissenschaft\/geo\/","title":{"rendered":"Empirische Geometrie (GEO)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmengen<\/strong>
P<\/em>   eine Menge von geometrischen Punkten
L<\/em>   eine Menge von Linien
E<\/em>   eine Menge von Ebenen<\/p>\n\n\n\n

Relationen<\/strong>
zw<\/em>   Zwischenrelation
kon<\/em>  Kongruenzrelation<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   zw<\/em> \u2208 \u2118 ( P<\/em> \u00d7 P<\/em> )
\u03b82<\/sub>   kon<\/em> \u2208 \u2118 ( P<\/em> \u00d7 P<\/em> \u00d7 P<\/em> \u00d7 P<\/em> )<\/p>\n\n\n\n

Definitionen<\/strong>
kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) gdw \u2203 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 c<\/em> \u2208 l ‚<\/em> )
nicht-kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) gdw \u00ac \u2203 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 c<\/em> \u2208 l<\/em> )
a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 x<\/em> gdw a<\/em> \u2208 x<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 x<\/em> \u2227 c<\/em> \u2208 x<\/em>
ZW<\/em> ( a<\/em>, l<\/em>, b<\/em> ) gdw \u00ac ( a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 \u2203 c<\/em> \u2208 l<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, c<\/em>, b<\/em> ) ) )<\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1<\/sub>   \u2200 l<\/em>, l<\/em> ‚ \u2208 L<\/em> \u2203 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2227 a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> )
H<\/em>2<\/sub>   \u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> \u2203 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> )
H<\/em>3<\/sub>   \u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2192 \u2203 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 \u2200 l<\/em> ‚ \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> ‚ \u2227 b<\/em> \u2208 l<\/em> ‚ \u2192 l<\/em> = l<\/em> ‚ ) )
H<\/em>4<\/sub>   \u2200 e<\/em> \u2208 E<\/em> \u2203 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( nicht-kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2227 a<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 c<\/em> \u2208 e<\/em> )
H<\/em>5<\/sub>   \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> \u2203 e<\/em> \u2208 E<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 \u2200 e<\/em> ‚ \u2208 P<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 e<\/em> ‚ \u2192 e<\/em> = e<\/em> ‚ ) )
H<\/em>6<\/sub>   \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( nicht-kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 \u2203 e<\/em> \u2208 E<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 \u2200 e<\/em> ‚ \u2208 E<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 e<\/em> ‚ \u2192 e<\/em> = e<\/em> ‚ ) ) )
H<\/em>7<\/sub>   \u2200 l<\/em> \u2208 L<\/em> \u2200 e<\/em> \u2208 E<\/em> ( \u2203 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em>, b<\/em> \u2208 l<\/em> \u2227 a<\/em>, b<\/em> \u2208 e ) \u2192 l<\/em> \u2286 e<\/em> )
H<\/em>8<\/sub>   \u2200 e<\/em>, e<\/em> ‚ \u2208 E<\/em> ( \u2203 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 a<\/em> \u2208 e<\/em> ‚ ) \u2192 \u2203 b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 e<\/em> \u2227 b<\/em> \u2208 e<\/em> ‚ ) )
H<\/em>9<\/sub>   \u2203 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, d<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2227 a<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 a<\/em> \u2260 d<\/em> \u2227 b<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 b<\/em> \u2260 d<\/em> \u2227 c<\/em> \u2260 d<\/em> )
H<\/em>10<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 \u2203 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2227 a<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 b<\/em> \u2260 c<\/em> \u2227 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 l<\/em> ) )
H<\/em>11<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 \u00ac zw<\/em> ( c<\/em>, b<\/em>, a<\/em> ) )
H<\/em>12<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 \u00ac zw<\/em> ( b<\/em>, a<\/em>, c<\/em> ) )
H<\/em>13<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2227 disjunkt<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2228 zw<\/em> ( b<\/em>, c<\/em>, a<\/em> ) \u2228 zw<\/em> ( c<\/em>, a<\/em>, b<\/em> ) )
H<\/em>14<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2192 \u2203 c<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) ) )
H<\/em>15<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( a<\/em> \u2260 b<\/em> \u2192 \u2203 c<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, c<\/em>, b<\/em> ) ) )
H<\/em>16<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, d<\/em> \u2208 P<\/em> ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2227 zw<\/em> ( b<\/em>, c<\/em>, d<\/em> ) \u2192 zw<\/em> ( a<\/em>, d<\/em>, b<\/em> ) )
H<\/em>17<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, d<\/em> \u2208 P ( zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, d<\/em> ) \u2227 zw<\/em> ( b<\/em>, c<\/em>, d<\/em> ) \u2192 zw<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) )
H<\/em>18<\/sub>  \u2200 e<\/em> \u2208 E<\/em> \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> \u2200 l<\/em> \u2208 L<\/em> ( kollinear<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2227 ( ZW<\/em> ( a<\/em>, l<\/em>, b<\/em> ) \u2227 c<\/em> \u2209 l<\/em> \u2192 ZW<\/em> ( b<\/em>, l<\/em>, c<\/em> ) \u2228 ZW<\/em> ( a<\/em>, l<\/em>, c<\/em> ) ) )
H<\/em>19<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( kon<\/em> ( a<\/em>, a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ) \u2192 b<\/em> = c<\/em> ) )
H<\/em>20<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em> \u2208 P<\/em> ( kon<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, b<\/em>, a<\/em> ) )
H<\/em>21<\/sub>  \u2200 a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>1<\/sub>, d<\/em>1<\/sub>, c<\/em>2<\/sub>, d<\/em>2<\/sub> \u2208 P<\/em> ( kon<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>1<\/sub>, d<\/em>1<\/sub> ) \u2227 kon<\/em> ( a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>2<\/sub>, d<\/em>2<\/sub> )  \u2192 kon<\/em> ( c<\/em>1<\/sub>, d<\/em>1<\/sub>, c<\/em>2<\/sub>, d<\/em>2<\/sub> ) )
H<\/em>22<\/sub>  \u2200 X<\/em>, Y<\/em> \u2208 \u2118 ( P<\/em> ) ( X<\/em> \u2260 \"\emptyset\" \u2227 Y<\/em> \u2260 \"\emptyset\" \u2192 \u2203 a<\/em> \u2208 P<\/em> \u2200 b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> ( b<\/em> \u2208 X<\/em> \u2227 c<\/em> \u2208 Y<\/em> \u2192 zw<\/em> ( b<\/em>, a<\/em>, c<\/em> ) \u2192 \u2203 d<\/em> \u2208 P<\/em> \u2200 a<\/em>1<\/sub> \u2208 P<\/em> \u2200 b<\/em>1<\/sub> \u2208 P<\/em> ( a<\/em>1<\/sub> \u2208 X<\/em> \\ { d }<\/em> \u2227 b<\/em>1<\/sub> \u2208 Y<\/em> \\ { d }<\/em> \u2192 zw<\/em> ( a<\/em>1<\/sub>, d<\/em>, b<\/em>1<\/sub> ) ) )
H<\/em>23<\/sub>  \u2200 e<\/em> \u2208 E<\/em> \u2200 l<\/em> \u2208 L<\/em> \u2200 a<\/em> \u2208 P<\/em> \\ l<\/em> \u2203 l<\/em> ‚ \u2208 L<\/em> ( a<\/em> \u2208 l<\/em> ‚ \u2227 l<\/em> \u2229 l<\/em> ‚ = \"\emptyset\" )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Modell der Geometrie M(GEO)<\/strong> gdw es Mengen P<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 P<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Relationen zw<\/em>, kon<\/em> haben die Typen \u03b81<\/sub> und \u03b82<\/sub> und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( P<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> ), …, H<\/em>23<\/sub> ( P<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(GEO)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele<\/strong>
– Ackerfl\u00e4chen in \u00c4gypten, zu verschiedenen Perioden
– Ackerfl\u00e4chen in Mesopotamien, zu verschiedenen Perioden
– Regionen, die durch Landvermessung kartographiert sind
– Erdoberfl\u00e4che des Planeten Erde<\/em>
– Mondoberfl\u00e4che
– der Raum \u00abunseres\u00bb Sonnensystems.<\/p>\n\n\n