{"id":517,"date":"2017-05-29T22:34:49","date_gmt":"2017-05-29T20:34:49","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=517"},"modified":"2023-02-20T20:41:23","modified_gmt":"2023-02-20T19:41:23","slug":"sto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/naturwissenschaft\/sto\/","title":{"rendered":"Daltonsche St\u00f6chiometrie (STO)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmengen<\/strong>
C <\/em>  Menge von Substanzen
F<\/em>   Menge von Formeln
T<\/em>   Menge von Zeitpunkten<\/p>\n\n\n\n

Hilfsbasismengen<\/strong>
\"\mathbb{N}\"   die Menge der reellen Zahlen
\"\mathbb{R}\"   die Menge der 3-dimensionalen, reellen Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Relation<\/strong>
E<\/em>   Menge von Elementarformeln<\/p>\n\n\n\n

Funktionen<\/strong>
\u2217   Konkatenationsfunktion
\u03b7   Koeffizientenfunktion
\u03c9   Gewichtsfunktion (combining weight function<\/em>)
f    <\/em>Formelfunktion
k<\/em>   Funktion, die die reduzierten kleinsten Koeffizienten beschreibt
\u03bc   Molekulargewichtsfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstanten<\/strong>
\u039b   Leerstelle
n<\/em>   die Anzahl der Elementarformeln<\/p>\n\n\n\n

Definitionen<\/strong>
\"\mathbb{R}^+_0\" ist die Menge der nicht-negativen, reellen Zahlen
\"\mathbb{R}^+\" ist die Menge der positiven, reellen Zahlen
\"\mathbb{N}_n\" = { 1, 2, 3, …, n }
s<\/em>1<\/sub> \u2217 … \u2217 sr<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u2217 ( s<\/em>1<\/sub>, … \u2217 ( sr-2<\/sub><\/em>, \u2217( sr-2<\/sub><\/em>, sr<\/sub><\/em> ) ) … )
\u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) = mi<\/sub><\/em>
\u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr mi<\/sub><\/em>-malige Anwendung von \u2217. Dabei ist \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) = mi<\/sub><\/em> und \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei<\/sub><\/em> = \u2217 ( ei<\/sub><\/em>, … \u2217 ( ei<\/sub><\/em>, \u2217 ( ei<\/sub><\/em>, ei<\/sub><\/em> ) … ) )
\"\Sigma^*_{i=1,...,n}\" \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) \"\circ\" ei<\/sub><\/em> ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u03b7 ( 1, \u0393 ) e<\/em>1<\/sub> \u2217 … \u2217 \u03b7 ( n<\/em>, \u0393 ) en
<\/sub><\/em>
Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   \u2217 \u2208 \"\cal FUN\" ( F<\/em> \u00d7 F<\/em> : F<\/em> )
\u03b82<\/sub>   n<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\"
\u03b83<\/sub>   \u03b7 \u2208 \"\cal FUN\" ( \"\mathbb{N}_n\" \u00d7 F<\/em> : \"\mathbb{N}\" )
\u03b84<\/sub>   \u039b \u2208 F<\/em>
\u03b85<\/sub>   E<\/em> \u2208 \u2118 ( F<\/em> )
\u03b86<\/sub>   \u03c9 \u2208 \"\cal FUN\" ( C<\/em> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{R}^+_0\" )
\u03b87<\/sub>   f<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( C<\/em> : F<\/em> \\ { \u039b } )
\u03b88<\/sub>   k<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( C<\/em> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{N}\" )
\u03b89<\/sub>   \u03bc \u2208 \"\cal FUN\" ( F<\/em> \\ { \u039b } : \"\mathbb{R}^+\" )<\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1<\/sub>   T<\/em> \u2282 \"\mathbb{R}\" \u2227 T<\/em> = { -1, 1 }
H<\/em>2<\/sub>   \u2217 ist assoziativ und kommutativ
H<\/em>3<\/sub>   0 < n<\/em>
H<\/em>4<\/sub>   \u2203 e<\/em>1<\/sub>, …, en<\/sub><\/em> \u2208 F<\/em> ( E<\/em> = { e<\/em>1<\/sub>, …, en<\/sub><\/em> } \u2227 \u2200 s<\/em> \u2208 F<\/em> ( s<\/em> = \"\Sigma^*_{i=1,...,n}\" \u03b7 ( i<\/em>, \u0393 ) ei <\/sub><\/em>)
H<\/em>5<\/sub>   \u2200 s<\/em> \u2208 F<\/em> ( s<\/em> \u2217 \u039b = \u039b \u2217 s<\/em> = s<\/em> )
H<\/em>6<\/sub>   \u2200 s<\/em>1<\/sub>, s<\/em>2<\/sub> \u2208 F<\/em> ( s<\/em>1<\/sub> \u2260 \u039b \u2260 s<\/em>2<\/sub> \u2192 s<\/em>2<\/sub> \u2260 s<\/em>1<\/sub> \u2217 s<\/em>2<\/sub> \u2260 s<\/em>1<\/sub> )
H<\/em>7<\/sub>   \u2200 s<\/em> \u2208 C<\/em> \u2203 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( \u03c9 ( s<\/em>, t<\/em> ) \u2260 0 )
H<\/em>8<\/sub>   f<\/em> ist injektiv
H<\/em>9<\/sub>   \u2200 s<\/em> \u2208 C<\/em> \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( k<\/em> ( s<\/em>, t<\/em> ) = 0 \u2194 \u03c9 ( s<\/em>, t<\/em> ) = 0 )
H<\/em>10<\/sub>  \u2200 i \u2264 n<\/em> \u2200 e<\/em>1<\/sub>, …, en<\/sub><\/em> \u2208 E<\/em> ( \u03bc ( \"\Sigma^*_{i=1,...,n}\" \u03b7 ( i<\/em>, ei<\/sub><\/em> ) ei<\/sub><\/em> ) = \"\Sigma_{i=1,...,n}\"  \u03b7 ( i<\/em>, ei<\/sub><\/em> ) \u22c5 \u03bc ( ei<\/sub><\/em> ) )
H<\/em>11<\/sub>  \u2200 t<\/em>, t<\/em> ‚ \u2208 T<\/em> \u2200 i<\/em> \u2264 n<\/em> ( \"\Sigma_{i=1,...,n}\" k<\/em> ( s<\/em>, t<\/em> ) \u22c5 \u03b7 ( i<\/em>, f<\/em> ( s<\/em> ) ) =  \"\Sigma_{i=1,...,n}\" k<\/em> ( s<\/em>, t ‚<\/em> ) \u22c5 \u03b7 ( i<\/em>, f<\/em> ( s<\/em> ) ) )
H<\/em>12<\/sub>  \u2200 s<\/em>, s<\/em> ‚ \u2208 C<\/em> \u2200 t<\/em>, t<\/em>‚ \u2208 T<\/em> ( \u03c9 ( s ‚<\/em>, t ‚<\/em> ) \u2260 0 \u2192 \"\frac{\omega(s,t)}{\omega(s',t')} = \frac{k(s,t)}{k(s',t')} \cdot \frac{\mu(f(s)}{\mu(f(s'))}\" )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Modell der Daltonschen St\u00f6chiometrie M(STO)<\/strong> gdw es Mengen F<\/em>, C<\/em>, T<\/em>, E<\/em>, \u2217,\u00a0\u03c9, \u03b7, f<\/em>, k<\/em>,\u00a0\u03bc gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 F<\/em>, C<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", E<\/em>, \u2217, \u03c9, \u03b7, f<\/em>, k<\/em>, \u03bc \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Relation, die Funktionen und Konstanten haben die Typen \u03b81<\/sub>, …, \u03b89<\/sub> und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( F<\/em>, C<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", E<\/em>, \u2217, \u03c9, \u03b7, f<\/em>, k<\/em>, \u03bc ) und … und H<\/em>12<\/sub> ( F<\/em>, C<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", E<\/em>, \u2217, \u03c9, \u03b7, f<\/em>, k<\/em>, \u03bc ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(STO)<\/strong> ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele<\/strong>
– Systeme von chemischen Reaktionen<\/p>\n\n\nQuerverbindungen<\/strong><\/span>

\nQ1<\/sub>(STO)<\/strong>   Formelkonstruktion bleibt in allen Modellen gleich
\nw<\/em> ist eine Formelquerverbindung, kurz: w<\/em> \u2208 Q1<\/sub>(STO)<\/strong>, gdw wenn es x<\/em>, C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup>, y, C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup> gibt, so dass gilt:<\/p>\n

x<\/em> = \u2329 C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ny<\/em> = \u2329 C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\n\u2329 F x<\/sup><\/em>, \u2217 x<\/em><\/sup>, \u039b x<\/em><\/sup>, n x<\/sup><\/em>, E x<\/sup><\/em> \u232a = \u2329 F y<\/sup><\/em>, \u2217 y<\/em><\/sup>, \u039b y<\/em><\/sup>, n y<\/sup><\/em>, E y<\/sup><\/em> \u232a und
\nw<\/em> = \u2329 x<\/em>, y<\/em>, \u2329 F x<\/sup><\/em>, \u2217 x<\/em><\/sup>, \u039b x<\/em><\/sup>, n x<\/sup><\/em>, E x<\/sup><\/em> \u232a, \u2329 F y<\/sup><\/em>, \u2217 y<\/em><\/sup>, \u039b y<\/em><\/sup>, n y<\/sup><\/em>, E y<\/sup><\/em> \u232a \u232a<\/p>\n

Q2<\/sub>(STO)   <\/strong>eine Substanz hat in zwei Modellen die gleiche Formel
\nw<\/em> ist eine Querverbindung f\u00fcr die Zuordnung einer Substanz zu einer Formel, kurz: w<\/em> \u2208 Q2<\/sub>(STO)<\/strong>, gdw wenn es  x<\/em>, C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup>, y, C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup>, s<\/em> gibt, so dass gilt:<\/p>\n

x<\/em> = \u2329 C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ny<\/em> = \u2329 C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ns<\/em> \u2208 C x<\/sup><\/em> \u2229 C y<\/sup><\/em> und  f x<\/sup><\/em> ( s ) = f y<\/sup><\/em> ( s ) und
\nw<\/em> = \u2329 x<\/em>, y<\/em>, \u2329 C x<\/sup><\/em>, f x<\/sup><\/em>, C y<\/sup><\/em>, f y<\/sup><\/em>, s<\/em> \u232a \u232a<\/p>\n

Q3<\/sub>(STO)   <\/strong>die Menge der Elementarformeln ist in zwei Modellen identisch
\nw<\/em> ist eine Querverbindung der Elementarformeln, kurz: w<\/em> \u2208 Q2<\/sub>(STO)<\/strong>, gdw es x<\/em>, C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup>, y, C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup>, E x<\/sup><\/em>, E y<\/sup><\/em> gibt, so dass gilt:<\/p>\n

x<\/em> = \u2329 C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ny<\/em> = \u2329 C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\nE x<\/sup><\/em> = E y<\/sup><\/em> und
\nw<\/em> = \u2329 x<\/em>, y<\/em>, \u2329 E x<\/sup><\/em>, E y<\/sup><\/em> \u232a \u232a<\/p>\n

Q4<\/sub>(STO)   <\/strong>Molekulargewicht einer Substanz bleibt in zwei Modellen gleich
\nw<\/em> ist eine Querverbindung des Molekulargewichts einer Substanz, kurz w<\/em> \u2208 Q4<\/sub>(STO)<\/strong>, gdw es x<\/em>, C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup>, y, C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup>, \u03bc x<\/em><\/sup>, \u03bc y<\/em><\/sup>, s<\/em> gibt, so dass gilt:<\/p>\n

x<\/em> = \u2329 C x<\/sup><\/em>, F x<\/sup><\/em>, …, \u03bc x<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ny<\/em> = \u2329 C y<\/sup><\/em>, F y<\/sup><\/em>, …, \u03bc y<\/em><\/sup> \u232a \u2208 M(STO)<\/strong>,
\ns<\/em> \u2208 C x<\/sup><\/em> \u2229 C y<\/sup><\/em> und \u03bc x<\/em><\/sup> ( s<\/em> ) = \u03bc y <\/em><\/sup>( s ) und
\nw<\/em> = \u2329 x<\/em>, y<\/em>, \u2329 \u03bc x<\/em><\/sup>, \u03bc y<\/em><\/sup>, s<\/em> \u232a \u232a<\/p>\n<\/div>\n\n\n