{"id":523,"date":"2017-05-29T22:36:47","date_gmt":"2017-05-29T20:36:47","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=523"},"modified":"2023-02-20T20:42:41","modified_gmt":"2023-02-20T19:42:41","slug":"lag","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/rekonstruktionen\/naturwissenschaft\/lag\/","title":{"rendered":"Lagrange Mechanik (LAG)"},"content":{"rendered":"\n

Grundmengen<\/strong>
H<\/em>   Menge von Dimensionen
T<\/em>   Menge von Zeitpunkten<\/p>\n\n\n\n

Hilfsbasismengen<\/strong>
\"\mathbb{N}\"   die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen
\"\mathbb{R}\"    die Menge der reellen Zahlen<\/p>\n\n\n\n

Funktionen<\/strong>
q<\/em>   generalisierte Koordinatenfunktion
K<\/em>   kinetische Energiefunktion
Q<\/em>   generalisierte Kraftfunktion<\/p>\n\n\n\n

Konstante<\/strong>
h<\/em>   Anzahl der Dimensionen<\/p>\n\n\n\n

Definitionen<\/strong>
\"\mathbb{N}\"h<\/sub><\/em> ist die Menge der nat\u00fcrlichen Zahlen { 1, …, h<\/em> }
F\u00fcr i<\/em> \u2264 h<\/em> wird qi<\/sub><\/em> : \"\mathbb{R}\" \u2192 \"\mathbb{R}\" wie folgt definiert: qi<\/sub><\/em> ( t<\/em> ) = q<\/em> ( i<\/em>, t<\/em> )
q<\/em> ( t<\/em> ) ist eine Abk\u00fcrzung f\u00fcr \u2329 q<\/em>1<\/sub> ( t<\/em> ), …, qh<\/sub><\/em> ( t<\/em> ) \u232a
\"\dot{q}\" ( t<\/em> ) = \u2329 Dq<\/em>1<\/sub> ( t<\/em> ), …, Dqh <\/sub><\/em>( t<\/em> ) \u232a<\/p>\n\n\n\n

Typisierungen<\/strong>
\u03b81<\/sub>   h<\/em> \u2208 \"\mathbb{N}\"
\u03b82<\/sub>   q<\/em> \u2208 \"\cal FUN\" ( \"\mathbb{N}\"h<\/sub><\/em> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{R}\" )
\u03b83<\/sub>   K<\/em> \u2208  \"\cal FUN\" ( \"\mathbb{R}\" 2h<\/em><\/sup> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{R}\" )
\u03b84<\/sub>   Q<\/em> \u2208  \"\cal FUN\" ( \"\mathbb{N}\"h<\/sub><\/em> \u00d7 T<\/em> : \"\mathbb{R}\" )<\/p>\n\n\n\n

Hypothesen<\/strong>
H<\/em>1<\/sub>   0 < h<\/em>
H<\/em>2<\/sub>   T<\/em> =\"\mathbb{R}\"
H<\/em>3<\/sub>   \u2200 t<\/em> \u2208 \"\mathbb{R}\" \u2200 i<\/em> \u2264 h<\/em> ( DDh<\/sub><\/em>+i <\/em><\/sub>K<\/em> ( q<\/em> ( t<\/em> ), \"\dot{q}\" ( t<\/em> ), t<\/em> ) – Di<\/sub><\/em> K<\/em> ( q<\/em> ( t<\/em> ), \"\dot{q}\" ( t<\/em> ), t<\/em> ) = Q<\/em> ( i<\/em>, t<\/em> ) )<\/p>\n\n\n\n

Modelle<\/strong>
x<\/em> ist ein Modell der Lagrange Mechanik M(LAG)<\/strong> gdw es h<\/em> und Mengen H<\/em>, q<\/em>, K<\/em>, Q<\/em> gibt, so dass gilt:<\/p>\n\n\n\n

x<\/em> = \u2329 H<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", h<\/em>, q<\/em>, K<\/em>, Q<\/em> \u232a<\/p>\n\n\n\n

und die Funktionen und Konstanten haben die Typen \u03b81<\/sub>, …, \u03b84<\/sub> und die Hypothesen H<\/em>1<\/sub> ( H<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", h<\/em>, q<\/em>, K<\/em>, Q<\/em> ), …, H<\/em>3<\/sub> ( H<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", h<\/em>, q<\/em>, K<\/em>, Q<\/em> ) gelten in x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

I(LAG)<\/strong>, ist die Menge der intendierten Systeme.<\/p>\n\n\n\n

Beispiele<\/strong>
– W\u00fcrfe an der Erdoberfl\u00e4che
– Fallph\u00e4nomene an der Erdoberfl\u00e4che
– Planetensysteme<\/p>\n\n\nVerkn\u00fcpfung<\/strong><\/span>

\nDefinitionen<\/strong>
\nsp<\/sub><\/em> : T<\/em> \u2192 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> ist definiert durch sp <\/sub><\/em>( t<\/em> ) = s<\/em> ( p<\/em>, t<\/em> ).
\nIn \u00e4hnlicher Weise: Xp<\/sub><\/em> ( q<\/em> ( t<\/em> ), \"\dot{q}\" ( t<\/em> ), t<\/em> ) = X<\/em> ( p<\/em>, q<\/em> ( t<\/em> ), \"\dot{q}\" ( t<\/em> ), t<\/em> )
\n\"\dot{s}\"p<\/sub><\/em> ist die Ableitung von sp<\/sub><\/em><\/p>\n

V(LAG,KPM) <\/strong>ist eine Verkn\u00fcpfung von generalisierten und kartesischen Koordinaten
\nver<\/em> = \u2329 x<\/em>, y<\/em>, X<\/em> \u232a ist eine Verkn\u00fcpfung von M(LAG)<\/strong> und M(KPM)<\/strong> gdw<\/p>\n

1) \u2329 P<\/em>, T<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", s<\/em>, m<\/em>, f<\/em> \u232a \u2208 M(KPM)<\/strong> \u2227 \u2329 H<\/em>, T<\/em> ‚, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", q<\/em>, h<\/em>, K<\/em>, Q<\/em> \u232a \u2208 M(LAG)<\/strong>
\n2) T<\/em> \u2286 T<\/em> ‚
\n3) \u2203 X <\/em>: P<\/em> \u00d7 \"\mathbb{R}\" h<\/sup><\/em> \u00d7 T<\/em> \u2192 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> (f\u00fcr alle t<\/em> \u2208 T<\/em> und alle p<\/em> \u2208 P<\/em> ( X<\/em> ( p<\/em>, q<\/em> ( 1, t<\/em> ), …, q<\/em> ( h<\/em>, t<\/em> ), t<\/em> ) = s<\/em> ( p<\/em>, t<\/em> ) \u2227 Xp<\/sub><\/em> ist stetig differenzierbar)
\n4) \u2200 t<\/em> \u2208 T<\/em> ( K<\/em> ( q<\/em> ( t<\/em> ), \"\dot{q}\" ( t<\/em> ), t<\/em> ) = \u03a3p<\/em> \u2208 P<\/em><\/sub> 1\/2 m<\/em> ( p<\/em> ) ( \"\dot{s}\"p<\/em><\/sub> ( t<\/em> ) ) 2<\/sup> )
\n5) \u2200 t<\/em>, t<\/em> ‚ \u2208 T<\/em> ( \u03a3i<\/em> \u2264 h<\/em><\/sub> Q<\/em> ( i<\/em>, t<\/em> ) \u22c5 | qi<\/sub><\/em> ( t ) – qi<\/sub><\/em> ( t ‚ ) | = \u03a3p<\/em> \u2208 P<\/em><\/sub> \u03a3i<\/em> \u2264 h<\/em><\/sub> f<\/em> ( p<\/em> ,t<\/em>, i<\/em> ) \u22c5 | s<\/em> ( p<\/em>, t<\/em> ) – s<\/em> ( p<\/em>, t ‚<\/em> ) | )<\/p>\n<\/div>\n\n\n