{"id":548,"date":"2017-05-29T23:09:08","date_gmt":"2017-05-29T21:09:08","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=548"},"modified":"2021-02-09T21:22:00","modified_gmt":"2021-02-09T20:22:00","slug":"uebung-12-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-12\/uebung-12-01\/","title":{"rendered":"\u00dc12-1: Typisierung des Systems des M\u00f6gens"},"content":{"rendered":"\n

Ein Modell des M\u00f6gens enth\u00e4lt eine Menge J<\/em> (von Personen oder Objekten), eine Menge Z<\/em> von Zeitpunkten, eine sp\u00e4ter als<\/em>-Beziehung \"\prec\" zwischen Zeitpunkten, und eine Menge \u00abdes M\u00f6gens\u00bb mag<\/em>:<\/p>\n\n\n\n

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x<\/em> = \u2329 J<\/em>, Z<\/em>, \"\prec\", mag<\/em> \u232a.<\/p>

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Die Relation mag<\/em> wird als Funktion dargestellt. mag<\/em> ordnet jedem Zeitpunkt z<\/em> eine Menge von Paaren aus J<\/em> zu: mag<\/em> ( z<\/em> ) = {  j<\/em>1<\/sub>, …, jn<\/sub><\/em> }; mag<\/em> : Z<\/em> \u2192 \u2118 ( J<\/em> \u00d7 J<\/em> ).<\/p>\n\n\n\n

Aus einer Menge X<\/em> wird die Potenzmenge \u2118 ( X<\/em> ) gebildet, indem jede Teilmenge von X<\/em> genommen wird und all diese Teilmengen zu einer neuen Menge zusammengefasst werden. Ein Element der so gebildeten Potenzmenge ist also wieder eine Menge, deren Elemente aus der \u00abOriginalmenge\u00bb X<\/em> stammen. \u2118 ( X<\/em> ) ist die Potenzmenge von X<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

In einfachen F\u00e4llen, in denen die Menge X<\/em> nur \u00abwenige\u00bb Elemente hat, wie z.B. X<\/em> = { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>3<\/sub>, a<\/em>4<\/sub>, a<\/em>5<\/sub>, a<\/em>6<\/sub>, a<\/em>7<\/sub> }, sieht ein Element aus der Potenzmenge \u2014 also auch ein Menge \u2014 z.B. so { a<\/em>4<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>7<\/sub>, a<\/em>5<\/sub> } oder so { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub> } oder auch so { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>3<\/sub>, a<\/em>4<\/sub>, a<\/em>5<\/sub>, a<\/em>6<\/sub>, a<\/em>7<\/sub> } aus. Wenn die Menge X<\/em> viele Elemente hat, im Extremfall: unendlich viele, wird oft eine Menge durch Auslassungspunkte weitergef\u00fchrt. D.h. einige wenige Elemente werden aufgeschrieben und die restlichen durch Auslassungspunkte dargestellt, z.B. { a<\/em>1<\/sub>, a<\/em>2<\/sub>, a<\/em>3<\/sub>, … }. Ein Element aus der Potenzmenge wird oft auch in anderer Weise dargestellt.<\/p>\n\n\n\n

Ein Element Y<\/em> aus der Potenzmenge von X<\/em> ist immer eine Teilmenge von X<\/em>. Dies wird in einem  mengentheoretischen Satz wie folgt ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n\n\n\n

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Y<\/em> ist eine Teilmenge<\/em> von X<\/em>, kurz Y<\/em> \u2286 X<\/em>.<\/p>

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Der Ausdruck Teilmenge<\/em> wird in der Mengenlehre durch die Begriffe der Potenzmenge \u2118 und der Elementschaft \u2208 definiert. Y<\/em> ist eine Teilmenge von X<\/em> genau dann wenn folgendes gilt: f\u00fcr jedes Element v<\/em> von Y<\/em> ist v<\/em> auch ein Element von X:<\/em><\/p>\n\n\n\n

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\u2200 v<\/em> ( v<\/em> \u2208 Y<\/em> \u2192 v<\/em> \u2208 X<\/em> ).<\/p>

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Wenn wir z.B. 20 Personen<\/p>\n\n\n\n

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{ Peter<\/em>, Udo<\/em>, Uta<\/em>, Klaus<\/em>, Gabriele<\/em>, … }<\/p>

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zu einer Menge X<\/em> zusammenfassen, besteht eine Teilmenge Y<\/em> von X<\/em> aus einigen dieser Personen, z.B. aus { Udo<\/em>, Gabriele<\/em>, Klaus<\/em> }. Die oben formulierte Definition f\u00fcr \u00abTeilmenge\u00bb l\u00e4sst sich in diesem Fall leicht verifizieren: Udo<\/em> geh\u00f6rt zur Teilmenge und zur Gesamtmenge X<\/em>, Gabriele<\/em> geh\u00f6rt zur Teilmenge und zu X<\/em> und Klaus<\/em> geh\u00f6rt zur Teilmenge und zur Gesamtmenge X<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichnen Sie eine Menge als Rechteck und zeichnen Sie f\u00fcnf Figuren ein, die alle im Rechteck liegen, aber verschiedene Formen haben.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Bilden Sie die Potenzmenge \u2118 ( X<\/em> ) von X<\/em> = { 1, 2, 3, 4 }.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Beschreiben Sie die zweistellige Relation \"\prec\" mengentheoretisch.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie eine Raute, deren horizontale Strecken gleich lang sind. Die horizontale, untere und die \u00ablinke\u00bb Strecke bezeichnen Sie beide mit J<\/em>. Die Raute enth\u00e4lt also Paare \u2329  j<\/em>1<\/sub>, j<\/em>2<\/sub> \u232a, j<\/em>1<\/sub> \u2208 J<\/em> und j<\/em>2<\/sub> \u2208 J<\/em>. Zeichnen Sie eine ellipsenartige Figur in die Raute ein. Interpretieren Sie die Paare aus dieser Figur in normaler Sprache. j<\/em>1<\/sub> und j<\/em>2<\/sub> sind z.B. die Personen Uta<\/em> und Udo<\/em>. Wie w\u00fcrden Sie die ellipsenartige Figur mit der Beziehung des M\u00f6gens in Verbindungen bringen?<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie \u00fcber der Raute eine zweite identische Raute ein. Zeichnen Sie in der oberen Raute eine etwas andere Form der Ellipse ein. Zeichnen Sie auf der linken Seite Ihrer Zeichnung einen vertikalen, nach oben zeigenden Pfeil ein. Interpretieren Sie diesen Pfeil und die Ver\u00e4nderung der ellipsenartigen Figuren.
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