{"id":550,"date":"2017-05-29T23:09:28","date_gmt":"2017-05-29T21:09:28","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=550"},"modified":"2021-02-04T16:22:29","modified_gmt":"2021-02-04T15:22:29","slug":"uebung-12-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-12\/uebung-12-02\/","title":{"rendered":"\u00dc12-2: Potenzmenge, inhaltlich"},"content":{"rendered":"\n

Wir gehen von einer Menge von Personen \u00abPeter<\/em>, Maria<\/em>, Udo<\/em>, Uta<\/em>, Heinz<\/em>, Gabriele\u00bb<\/em> aus:<\/p>\n\n\n\n

X<\/em> = { Peter<\/em>, Maria<\/em>, Udo<\/em>, Uta<\/em>, Heinz<\/em>, Gabriele<\/em> }.<\/p>\n\n\n\n

Aus dieser Menge kann in zwei Schritten eine Menge \u2118 ( X<\/em> \u00d7 X<\/em> ) konstruiert werden, die alle<\/em> M\u00f6glichkeiten von Zweierbeziehungen zwischen diesen Personen enth\u00e4lt.<\/p>\n\n\n\n

Formal ist ein Element U<\/em> der Potenzmenge \u2118 ( X<\/em> \u00d7 X<\/em> ) zun\u00e4chst eine Menge. Andererseits ist U<\/em> auch wieder eine Menge, aber eine Menge einer bestimmten Art. Jedes Element aus U<\/em> hat die Form \u2329 u<\/em>, v<\/em> \u232a.<\/p>\n\n\n\n

Im Beispiel ist etwa U<\/em> die Menge { \u2329 Udo<\/em>, Uta<\/em> \u232a, \u2329 Maria<\/em>, Peter<\/em> \u232a, \u2329 Heinz<\/em>, Gabriele  <\/em>\u232a} dieser Paare. Inhaltlich bedeutet dies, dass die Menge U<\/em> eine bestimmte M\u00f6glichkeit des M\u00f6gens beschreibt. Bei dieser M\u00f6glichkeit gibt es genau drei Beziehungen, n\u00e4mlich: Udo<\/em> mag Uta<\/em>, Maria<\/em> mag Peter<\/em> und Heinz<\/em> mag Gabriele<\/em>. Alle anderen Personen aus dieser Menge m\u00f6gen keine weiteren Personen. In einer anderen M\u00f6glichkeit V<\/em> aus der Potenzmenge, k\u00f6nnte V<\/em> nur folgende Paare enthalten: Udo<\/em> mag Uta<\/em> und Peter<\/em> mag Gabriele<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Aus diesen 6 Personen lassen sich viele verschiedene M\u00f6glichkeiten beschreiben, je nachdem wie sich \u00abdas M\u00f6gen\u00bb dieser Personen gerade darstellt. Die Struktur des \u00abM\u00f6gens\u00bb insgesamt enth\u00e4lt aber alle verschiedenen M\u00f6glichkeiten, wie sich Beziehung in einer Personenmenge gestalten k\u00f6nnen.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Schreiben Sie die Menge \u2118 ( X<\/em> \u00d7 X<\/em> ) im Detail auf, wenn sich die Menge X<\/em> folgenderma\u00dfen darstellt: X<\/em> = { A<\/em>, B<\/em>, C<\/em>, D<\/em> }.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Bilden Sie zwei verschiedene Mengen von Personenpaaren, welche auch inhaltlich verschieden sind. In der ersten Menge soll ausgeschlossen sein, dass P<\/em>1<\/sub> P<\/em>2<\/sub> mag<\/em> und P<\/em>2<\/sub> P<\/em>3<\/sub> mag<\/em>, aber P<\/em>1<\/sub> P<\/em>3<\/sub> nicht mag<\/em>. In der zweiten Mengen ist dagegen zugelassen, dass P<\/em>1<\/sub> sich selbst mag<\/em>: P<\/em>1<\/sub> mag<\/em> P<\/em>1<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Formulieren f\u00fcr die beiden Mengen von Personenpaaren in a) zwei Hypothesen, durch die sich die beiden M\u00f6glichkeiten des M\u00f6gens formal auseinander halten lassen.
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