{"id":568,"date":"2017-05-29T23:13:45","date_gmt":"2017-05-29T21:13:45","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=568"},"modified":"2021-02-04T16:32:58","modified_gmt":"2021-02-04T15:32:58","slug":"uebung-12-11","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-12\/uebung-12-11\/","title":{"rendered":"\u00dc12-11: Einbettung"},"content":{"rendered":"\n

Seien X<\/em>, Y<\/em>, X<\/em> ‚ und Y <\/em>‚ Mengen und R<\/em> eine Relation R<\/em> \u2286 X<\/em> \u00d7 Y<\/em>. Weiter seien injektive Funktionen f<\/em> : X<\/em> \u2192 X<\/em> ‚ und f<\/em> ‚ : Y<\/em> \u2192 Y<\/em> ‚ gegeben. Wir definieren die Menge Z
<\/em><\/p>\n\n\n\n

Z<\/em> =  { z<\/em> \/ \u2203 x<\/em> \u2208 X<\/em> \u2203 y<\/em> \u2208 Y<\/em> ( \u2329 x<\/em>, y<\/em> \u232a \u2208 R<\/em> \u2227 z<\/em> = \u2329 f<\/em> ( x<\/em> ) , f<\/em> ‚ ( y<\/em> ) \u232a ) }.<\/p>\n\n\n\n

Die Menge f<\/em> ( x<\/em> ) besteht aus den Funktionswerten aus X<\/em>:<\/p>\n\n\n\n

 f<\/em> ( x<\/em> ) = {  f<\/em> ( x<\/em> ) \/ x<\/em> \u2208 X<\/em> }<\/p>\n\n\n\n

und die Menge  f<\/em> ( y<\/em> ) aus den Funktionswerten aus Y<\/em>:<\/p>\n\n\n\n

f<\/em> ‚ ( Y<\/em> ) = { f<\/em> ‚ ( x<\/em> ) \/ x<\/em> \u2208 X<\/em> }.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beweisen Sie, dass ( f<\/em> ( X<\/em> ) \u00d7 f<\/em> ‚ ( Y<\/em> ) ) \u2286 ( X<\/em> ‚ \u00d7 Y<\/em> ‚ ) und dass \u2118 ( f<\/em> ( X<\/em> ) ) \u2286 \u2118 ( X<\/em> ‚ ).<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Sei eine Relation R<\/em> ‚ \u2286 X<\/em> ‚ \u00d7 Y<\/em> ‚ gegeben. Wir nehmen an, dass R<\/em> ‚ mit Z<\/em> identisch ist. K\u00f6nnen Sie sagen, dass R<\/em> nach R<\/em> ‚ transportiert wurde?<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Definieren Sie die Funktion f<\/em> \u2297 f ‚ <\/em>: ( X<\/em> \u00d7 X<\/em> ‚ ) \u2192 ( Y<\/em> \u00d7 Y<\/em> ‚ ).<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Wir nehmen an, dass R<\/em> durch f<\/em> \u2297 f <\/em>‚ zu R<\/em> ‚ transportiert wurde. Wenn R<\/em> durch die Hypothese H <\/em>charakterisiert ist, gilt dann H<\/em> auch f\u00fcr R<\/em> ‚? (Hinweis: H<\/em> beinhaltet, dass X<\/em> oder Y<\/em> nicht zu gro\u00df wird.)
<\/p>\n\n\n