{"id":570,"date":"2017-05-29T23:14:13","date_gmt":"2017-05-29T21:14:13","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=570"},"modified":"2021-02-04T16:33:46","modified_gmt":"2021-02-04T15:33:46","slug":"uebung-12-12","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-12\/uebung-12-12\/","title":{"rendered":"\u00dc12-12: R\u00e4umliche Drehung"},"content":{"rendered":"\n

Der 3-dimensionale Raum sei durch die Menge \"\mathbb{N}\" 3<\/sup> dargestellt. Der Raum wird mathematisch durch eine Funktion A<\/strong> gedreht. Dazu wird ein Raumpunkt \u2329 x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub> \u232a durch die Funktion A<\/strong> zu dem Punkt A<\/strong> ( \u2329 x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub> \u232a ) transportiert.<\/p>\n\n\n\n

Die Funktion A<\/strong> wird durch eine 3 \u00d7 3 Matrix<\/em> dargestellt. Eine solche Matrix wird z.B. so geschrieben: \"\alpha^i_j\" i<\/em> \u2264 3, j<\/em> \u2264 3<\/sub>. \"\alpha^i_j\" ist dabei eine reelle Zahl, eine Komponente<\/em> der Matrix. Der obere Index i<\/em> besagt, dass die Komponente \"\alpha^i_j\" auf der i<\/em>-ten Zeile in der Matrix steht. Der untere Index j<\/em> besagt, dass die Komponente \"\alpha^i_j\" in der j<\/em>-ten Spalte steht.<\/p>\n\n\n\n

Der Funktionswert f\u00fcr \u2329 x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub> \u232a wird wie folgt berechnet: F\u00fcr jede i<\/em>-te Zeile \u2329 \"\alpha^i_1\", \"\alpha^i_2\", \"\alpha^i_3\" \u232a wird die Summe \u03a3 j<\/em> \u2264 3<\/sub> \"\alpha^i_j\" \u22c5 xj<\/sub><\/em> gebildet. Diese drei Summen werden zu einem 3-dimensionalen Vektor zusammengefasst:<\/p>\n\n\n\n

A<\/strong> ( \u2329 x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>, x<\/em>3<\/sub> \u232a ) = \u2329 \u03a3 j<\/em> \u2264 3<\/sub> \"\alpha^1_j\" \u22c5 xj<\/sub><\/em>, \u03a3 j<\/em> \u2264 3<\/sub> \"\alpha^2_j\" \u22c5 xj<\/sub><\/em>, \u03a3 j<\/em> \u2264 3<\/sub> \"\alpha^3_j\" \u22c5 xj<\/sub><\/em> \u232a.<\/p>\n\n\n\n

Wir zeichnen einen 2-dimensionalen Raum mit x<\/em>– und y<\/em>-Achse und tragen einen Punkt p<\/em> rechts oben ein und f\u00fcr den Punkt die dazugeh\u00f6rigen Koordinaten. Wir zeichnen einen Kreis um den Nullpunkt, der durch diesen Punkt geht und zeichnen einen Pfeil, der vom Nullpunkt zum Punkt p<\/em> f\u00fchrt. Wir drehen den Pfeil um 90\u00b0 Grad im Uhrzeigersinn und zeichnen am Ende des Pfeiles den Punkt p<\/em> ‚ ein. Der Raum und damit auch der Punkt p<\/em> wird \u00abnach links\u00bb gedreht. Schlie\u00dflich tragen wir zwischen den beiden Pfeilen den Winkel 90\u00b0 ein.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichen Sie eine 3 \u00d7 3 Matrix auf und ordnen Sie den Zeilen die oberen Indizes zu. Ordnen Sie in \u00e4hnlicher Weise den Spalten die unteren Indizes zu.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Zeichnen Sie die folgende 2 \u00d7 2 Matrix auf: \"\alpha^1_1\" = 0 = \"\alpha^2_2\", \"\alpha^1_2\" = 1 und \"\alpha^2_1\" = -1. Ordnen Sie den Zahlen \"\alpha^1_2\" und \"\alpha^2_1\" Befehle zu, die die betreffende Koordinate ver\u00e4ndern. Sie sehen, dass die x<\/em>-Koordinate von p<\/em> beim Drehen gleich geblieben ist. Die y<\/em>-Koordinate x<\/em>2<\/sub> von p<\/em> wird dagegen mit \"\alpha^2_1\" multipliziert: \"\alpha^2_1\" \u22c5 x<\/em>2<\/sub> = -1 \u22c5 x<\/em>2<\/sub>. Untersuchen Sie, was passiert, wenn Sie den Winkel 90\u00b0 vergr\u00f6\u00dfern oder verkleinern.
<\/p>\n\n\n