{"id":611,"date":"2017-05-30T07:30:09","date_gmt":"2017-05-30T05:30:09","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=611"},"modified":"2019-03-18T12:04:42","modified_gmt":"2019-03-18T11:04:42","slug":"uebung-14-02","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-14\/uebung-14-02\/","title":{"rendered":"\u00dc14-2: Gr\u00f6\u00dfenvergleich von endlichen Mengen"},"content":{"rendered":"

Menge X<\/em> ist gr\u00f6\u00dfer als<\/em> Menge Y<\/em> gdw gilt:<\/p>\n

F\u00fcr alle x<\/em>\u00a0\u2208 X<\/em> gilt x<\/em>\u00a0\u2208 Y<\/em> und
\nes gibt Elemente y<\/em>\u00a0\u2208 Y<\/em>, so dass y<\/em> kein Element von X<\/em> ist.<\/p>\n

Sei X<\/em> eine endliche Menge und f<\/em> : X<\/em>\u00a0\u2192\u00a0\"\mathbb{N}\" eine injektive Funktion, so dass folgende Bedingung erf\u00fcllt ist:<\/p>\n\n\n\n
<\/td>\nWenn x<\/em>1<\/sub>, x<\/em>2<\/sub>\u00a0\u2208 X<\/em> und n<\/em>\u00a0\u2208\u00a0\"\mathbb{N}\" und f<\/em> ( x<\/em>1<\/sub> ) < n<\/em> < f<\/em> ( x<\/em>2<\/sub> ), dann gibt es x<\/em>3<\/sub>\u00a0\u2208 X<\/em> mit f<\/em> ( x<\/em>1<\/sub> ) < f<\/em> ( x<\/em>3<\/sub> ) < f<\/em> ( x<\/em>2<\/sub> ).<\/td>\n(1)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Die Gr\u00f6\u00dfe<\/em> (oder die Kardinalit\u00e4t<\/em>) einer endlichen Menge X<\/em> kann so definiert werden:<\/p>\n

m<\/em> ist die Gr\u00f6\u00dfe von X<\/em> gdw es eine injektive Funktion
\nf<\/em> : X<\/em>\u00a0\u2192\u00a0\"\mathbb{N}\" gibt, die Bedingung (1) oben erf\u00fcllt und f\u00fcr die
\ngilt\u00a0\u2203 x<\/em>\u00a0\u2208 X<\/em> ( f<\/em> ( x<\/em> ) = 0 ) und\u00a0\u2203 y<\/em>\u00a0\u2208 X<\/em> ( f<\/em> ( y<\/em> ) = m<\/em> ).<\/p>\n

Die Gr\u00f6\u00dfe von X<\/em> wird durch \u2135 ( X<\/em> ) oder durch || X<\/em> || abgek\u00fcrzt. Seien X<\/em> und Y<\/em> endliche Mengen. Die Menge X<\/em> \\ Y<\/em> wird wie folgt definiert.<\/p>\n

F\u00fcr alle x<\/em> gilt: x<\/em>\u00a0\u2208 X<\/em> \\ Y<\/em> gdw x<\/em>\u00a0\u2208 X<\/em>\u00a0\u2227\u00a0\u00ac ( x<\/em>\u00a0\u2208 Y<\/em> ).<\/p>\n

a)<\/strong> Definieren Sie, was es hei\u00dft, dass eine Menge X<\/em> kleiner als<\/em> eine Menge Y<\/em> ist.<\/p>\n

b)<\/strong> Formalisieren Sie mengentheoretisch, dass X<\/em> gr\u00f6\u00dfer als<\/em> Y<\/em> ist und genauso, dass X<\/em> kleiner als<\/em> Y<\/em> ist. Verwenden Sie dabei die Symbole\u00a0\u2282 und \u2283.<\/p>\n

c)<\/strong> Beweisen Sie: aus X<\/em>\u00a0\u2282 Y<\/em> folgt\u00a0\u00ac ( Y<\/em>\u00a0\u2282 X<\/em> ).<\/p>\n

d)<\/strong> Gilt der Satz ( X<\/em>\u00a0\u2282 Y<\/em> )\u00a0\u2228 ( Y<\/em>\u00a0\u2282 X<\/em> ) mengentheoretisch immer?<\/p>\n

e)<\/strong> Zeichnen Sie die Funktion f<\/em> (oben), wenn X<\/em> genau 5 Elemente hat. Zeichnen Sie eine weitere Menge Y<\/em>, die mit X<\/em> disjunkt ist. Zeigen Sie, dass \u2135 ( X<\/em>\u00a0\u222a Y<\/em> ) = \u2135 ( X<\/em> ) + \u2135 ( Y<\/em> ).<\/p>\n

f)<\/strong> Nehmen Sie die Mengen X<\/em> = { a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> } und Y<\/em> = { 1, 2, 3, 4 } und beschreiben Sie die Menge X<\/em> \\ Y<\/em> nur mit \u2208,\u00a0\u2227 und \u00ac.<\/p>\n

g)<\/strong> Stellen Sie die Ungleichung || X<\/em> \\ ( X<\/em>\u00a0\u2229 Y<\/em> ) || < || X<\/em>\u00a0\u222a Y<\/em> || graphisch dar.
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