{"id":625,"date":"2017-05-30T07:33:14","date_gmt":"2017-05-30T05:33:14","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=625"},"modified":"2021-02-04T16:41:02","modified_gmt":"2021-02-04T15:41:02","slug":"uebung-14-09","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-14\/uebung-14-09\/","title":{"rendered":"\u00dc14-9: Ableitung einer Funktion"},"content":{"rendered":"\n

Sei f<\/em> : \"\mathbb{R}\" \u2192 \"\mathbb{R}\" eine stetige Funktion und sei a<\/em>0 <\/sub>aus \"\mathbb{R}\" gegeben. f <\/em>kann am Punkt a<\/em>0<\/sub> abgeleitet<\/em> werden gdw gilt: f\u00fcr jedes \u03b5 > 0 gibt es ein \u03b4 > 0, so dass f\u00fcr alle a<\/em> \u2208 \"\mathbb{R}\" gilt: wenn | a<\/em> – a<\/em>0<\/sub> | < \u03b4, dann ist | f<\/em> ( a<\/em> ) – f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub>) | \/ | a<\/em> – a<\/em>0<\/sub> | < \u03b5.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Formulieren Sie, dass die Funktion f<\/em> im Punkt a<\/em>0<\/sub> differenzierbar ist. Formulieren Sie, dass Funktion f<\/em> differenzierbar ist.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Wenn f<\/em> differenzierbar ist, definieren Sie die Ableitung<\/em> f<\/em> ‚ von f<\/em>. Verwenden Sie ein Lehrbuch \u00fcber Analysis oder informieren Sie sich auf Wikipedia.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie eine stetige Funktion f<\/em> und ein Argument a<\/em>0<\/sub> von f <\/em>in einem Koordinatensystem ein. Zeichnen Sie die \u03b4-Umgebung von a<\/em>0<\/sub> auf der x<\/em>-Achse ein. Zeichnen Sie die beiden Funktionswerte f<\/em> ( a<\/em> ) und f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) ein. Bilden Sie ein Dreieck, in dem Sie die x<\/em>-Koordinaten von f<\/em> ( a<\/em> ) und f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) als Linien f\u00fcr eine horizontale Linie verwenden, welche entweder durch f<\/em> ( a<\/em> ) oder durch f<\/em> ( a<\/em>0<\/sub> ) geht. Sie sehen, wie sich dieses Dreieck ver\u00e4ndert, wenn Sie das Argument n\u00e4her an a<\/em>0<\/sub> schieben.
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