{"id":666,"date":"2017-05-30T07:47:34","date_gmt":"2017-05-30T05:47:34","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=666"},"modified":"2021-02-04T16:43:49","modified_gmt":"2021-02-04T15:43:49","slug":"uebung-15-07","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-15\/uebung-15-07\/","title":{"rendered":"\u00dc15-7: Inverse Funktion"},"content":{"rendered":"\n

Sei f<\/em> : X<\/em> \u2192 Y<\/em> eine Funktion. Wenn f<\/em> injektiv ist, l\u00e4sst sich die inverse Funktion<\/em> \"\hat{f}\" von f<\/em> definieren. Dies geschieht in zwei Schritten. Erstens werden aller Funktionswerte von f<\/em> zu einer Menge zusammengefasst und durch (z.B.) W<\/em> bezeichnet. Es gilt: W<\/em> \u2282 Y<\/em>. Zweitens wird jedem Funktionswert w<\/em> von f<\/em> das zugeh\u00f6rige Argument zugeordnet.
Die Menge der Argumente x<\/em>, die einem Funktionswert a<\/em> zugeordnet wird, hei\u00dft das Urbild von a unter f<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beschreiben Sie die Menge W<\/em> aller Funktionswerte formal.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie die Funktion  \"\hat{f}\" : W<\/em> \u2192 X<\/em>. (Hinweis: vertauschen Sie die Komponenten aus den Paaren \u2329 x<\/em>, y<\/em> \u232a von f<\/em>.)<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Beweisen Sie, dass es f\u00fcr jedes w<\/em> \u2208 W<\/em> genau ein x<\/em> gibt, so dass \"\hat{f}\"( w<\/em> ) = x<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie in einem Koordinatensystem eine Funktion f<\/em> ein, die an zwei Argumenten denselben Funktionswert a<\/em> hat (d.h. f <\/em>ist nicht injektiv). Zeichnen Sie auf der x<\/em>-Achse die zwei Argumente ein und verbinden Sie diese Argumente graphisch.<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Definieren Sie die Menge aller Urbilder unter f<\/em>. Beweisen Sie, dass es eine Funktion g<\/em> : \u2118 ( X ) \u2192 Y<\/em> gibt, welche den Urbildern die Werte von f<\/em> zuordnet.
<\/p>\n\n\n