{"id":668,"date":"2017-05-30T07:48:00","date_gmt":"2017-05-30T05:48:00","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=668"},"modified":"2021-02-04T16:46:52","modified_gmt":"2021-02-04T15:46:52","slug":"uebung-15-08","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-15\/uebung-15-08\/","title":{"rendered":"\u00dc15-8: Isomorphe Modelle"},"content":{"rendered":"\n

Wir betrachten zwei geometrische Modelle x<\/em> = \u2329 P<\/em>, G<\/em>, L<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> \u232a und y<\/em> = \u2329 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>, d \u232a. P<\/em> ist \u00abdie\u00bb Menge von Punkten, G<\/em> \u00abdie\u00bb Menge von Geraden, L<\/em> \u00abdie\u00bb Menge von Linien, zw<\/em> die zwischen<\/em>-Relation und kon<\/em> die Kongruenzrelation<\/em>. In einer bestimmten Interpretation k\u00f6nnen wir auch die Menge \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> als \u00abdie\u00bb Menge der geometrischen Punkte auffassen. Ein Punkt a<\/em> wird dabei als ein Tripel \u2329 \u03b11<\/sub>, \u03b12<\/sub>, \u03b13<\/sub> \u232a von reellen Zahlen angesehen. d<\/em> ist die Abstandsfunktion, d<\/em> : \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> \u00d7 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup> \u2192 \"\mathbb{R}\".<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Wir nehmen an, dass es eine bijektive Funktion f<\/em> von P<\/em> nach \"\mathbb{R}\" gibt, f<\/em> : P<\/em> \u2192 \"\mathbb{R}\" 3<\/sup>. F\u00fcr alle a<\/em> \u2208 P<\/em>:<\/p>\n\n\n\n

f<\/em> ( a<\/em> ) = \u2329 \u03b11<\/sub>, \u03b12<\/sub>, \u03b13<\/sub> \u232a.<\/p>\n\n\n\n

Wir definieren, dass<\/p>\n\n\n\n

d<\/em> ( \u2329 \u03b11<\/sub>, \u03b12<\/sub>, \u03b13<\/sub> \u232a, \u2329 \u03b21<\/sub>, \u03b22<\/sub>, \u03b23<\/sub> \u232a ) = \"\sqrt[2]{ \Sigma_{i=1}^3 (\alpha_i - \beta_i )^2 }\".<\/p>\n\n\n\n

Definieren Sie, dass drei Punkte a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> \u2208 P<\/em> in der zwischen<\/em>-Relation liegen gdw gilt d<\/em> ( a<\/em>, b<\/em> ) + d<\/em> ( b<\/em>, c<\/em> ) = d<\/em> ( a<\/em>, c<\/em> ). (Hinweis: Punkte werden durch Zahlentripel ersetzt). Zeichnen Sie die Punkte und die Abst\u00e4nde in einem 2-dimensionalen Raum auf.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Definieren Sie, dass vier Punkte a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>, e<\/em> kongruent sind gdw die zugeh\u00f6rigen Zahlentripel die richtigen Abst\u00e4nde haben.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Versuchen Sie, ein Axiomensystem zu finden, welches in beiden Modellen interpretiert werden kann. Untersuchen Sie stichprobenartig, ob Axiome die in x<\/em> auch in y<\/em> g\u00fcltig sind.
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