{"id":670,"date":"2017-05-30T07:48:31","date_gmt":"2017-05-30T05:48:31","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=670"},"modified":"2021-02-04T16:47:20","modified_gmt":"2021-02-04T15:47:20","slug":"uebung-15-09","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-15\/uebung-15-09\/","title":{"rendered":"\u00dc15-9: Partielle Isomorphie"},"content":{"rendered":"\n

Wir betrachten zwei Modelle x<\/em> = \u2329 P<\/em>, G<\/em>, E<\/em>, zw<\/em>, kon<\/em> \u232a und y<\/em> = \u2329 K<\/em>, li<\/em> \u232a. x<\/em> ist ein geometrisches Modell, P<\/em> ist eine Menge von Punkten, G<\/em> eine Menge von Geraden, E<\/em> eine Menge von Ebenen, zw<\/em> die zwischen<\/em>-Relation und kon<\/em> die Kongruenzrelation. y<\/em> ist ein Modell f\u00fcr Netze; K<\/em> ist eine Menge von Knoten und li<\/em> ist eine Menge von Linien. Dabei werden die Linien li<\/em> als Mengen von Paaren von Knoten aufgefasst: l<\/em> \u2208 li<\/em>, l<\/em> = \u2329 k<\/em>, k<\/em> ‚ \u232a, k<\/em> , k<\/em> ‚ \u2208 K<\/em>. Wir bilden ein spezielles geometrisches Modell f\u00fcr Dreiecke. In dem Modell x<\/em> werden drei Punkte a<\/em>, b<\/em>, c<\/em> ausgew\u00e4hlt und es wird gefordert, dass keiner der Punkte zwischen den zwei anderen Punkten liegt.<\/p>\n\n\n\n

Auf \u00e4hnliche Weise k\u00f6nnen wir ein spezielles Netzmodell bilden. Drei Knoten A<\/em>, B<\/em>, C<\/em> werden ausgew\u00e4hlt, wobei von jedem Knoten eine Linie zu jedem der restlichen Knoten f\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beschreiben Sie die beiden spezielleren Modelle mengentheoretisch genauer.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Bilden Sie eine injektive Funktion \u03a6 : K<\/em> \u2192 P<\/em>. Stellen Sie diese Situation graphisch dar. Zeichnen Sie einige Knoten aus K<\/em> in einer 2-dimensionalen Ebene auf.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Definieren Sie, dass \u03a6 ( A<\/em> ) = a<\/em>, \u03a6 ( B<\/em> ) = b<\/em> und \u03a6 ( C<\/em> ) = c<\/em>. Sie sehen, dass es in beiden Spezialmodellen Dreiecke gibt. Pr\u00fcfen Sie, ob das Dreieck in x<\/em> isomorph zu einem Teilsystem aus y<\/em> ist. (Hinweis: \u00ab\u00dcbersetzen\u00bb Sie den Sachverhalt zw<\/em> ( u<\/em>, v<\/em>, w<\/em> ) in die Notation von Netzen.)
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