{"id":723,"date":"2017-05-30T11:38:02","date_gmt":"2017-05-30T09:38:02","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=723"},"modified":"2019-03-18T14:45:59","modified_gmt":"2019-03-18T13:45:59","slug":"uebung-16-03","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-16\/uebung-16-03\/","title":{"rendered":"\u00dc16-3: Spezialisierung eines Modells"},"content":{"rendered":"

Wir betrachten die Theorie T<\/em> der Tauschwirtschaft und die Modellmenge M<\/em>. Ein Modell x<\/em> hat die Form<\/p>\n

x<\/em> =\u00a0\u2329 H<\/em>, W<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", g<\/em>, p<\/em>, U<\/em>, E<\/em> \u232a.<\/p>\n

H<\/em> ist eine Menge von Personen, die tauschen, W<\/em> eine Menge von Warenarten, g<\/em> eine\u00a0\u00abG\u00fcterb\u00fcndelfunktion\u00bb , g <\/em>( h<\/em>, w<\/em> )\u00a0\u2208 \"\mathbb{R}^+_0\" ist die Quantit\u00e4t der Ware der Art w<\/em>, die Person h<\/em> besitzt, g<\/em> : H<\/em>\u00a0\u00d7 W <\/em>\u2192 \"\mathbb{R}^+_0\". U<\/em> ist die Nutzenfunktion; U<\/em> ( h, \u03b11<\/sub>, …,\u00a0\u03b1m<\/em><\/sub> ) =\u00a0\u03b2 besagt, dass Person h<\/em>, welche das G\u00fcterb\u00fcndel\u00a0\u03b11<\/sub>, …,\u00a0\u03b1m<\/em><\/sub> besitzt, den Nutzen\u00a0\u03b2 aus diesem G\u00fcterb\u00fcndel zieht. p<\/em> ist die Preisfunktion; p<\/em> ( w<\/em> ) =\u00a0\u03b3 besagt, dass eine Einheit der Warenart w <\/em>den Preis\u00a0\u03b3 hat.
\nB<\/em> [ H<\/em>, W<\/em>, g ] ist die \u00abTauschbegrenzung\u00bb , d.h. eine Menge von G\u00fcterb\u00fcndelfunktionen g<\/em> *<\/sup>, die zwei Bedingungen erf\u00fcllt. 1) f\u00fcr jede Warenart w<\/em> ist die Gesamtsumme der Warenart nicht gr\u00f6\u00dfer als die Gesamtsumme, die in der G\u00fcterb\u00fcndelfunktion g<\/em> von x<\/em> zu finden ist. D.h. es werden ver\u00e4nderte G\u00fcterb\u00fcndelfunktionen nur in Betracht gezogen, wenn dies zu keinen zus\u00e4tzlichen \u00abneuen\u00bb Quantit\u00e4ten (\u00abProdukten\u00bb) f\u00fchrt. 2) F\u00fcr jede Person bleibt der Wert eines m\u00f6glicherweise in Betracht kommenden G\u00fcterb\u00fcndels gleich\u00a0\u2014 im Vergleich zum Wert der im Modell existierenden G\u00fcterb\u00fcndelfunktion g<\/em>.
\nB<\/em> [ H<\/em>, W<\/em>, g<\/em> ] = {\u00a0g<\/em> *<\/sup> \/\u00a0g<\/em> *<\/sup> : H<\/em>\u00a0\u00d7 W<\/em>\u00a0\u2192\u00a0\"\mathbb{R}\" \u2227 \u2200\u00a0w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em> ( \u03a3h<\/em>\u00a0\u2208 H<\/em><\/sub> g<\/em> *<\/sup> ( h<\/em>, w<\/em> )\u00a0\u2264\u00a0\u03a3h<\/em>\u00a0\u2208 H<\/em><\/sub> g<\/em> ( h<\/em>, w<\/em> ) ) \u2227\u00a0\u2200 h<\/em>\u00a0\u2208 H<\/em> ( \u03a3w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em><\/sub> ( p<\/em> ( w<\/em> )\u00a0\u22c5 (\u00a0g<\/em> *<\/sup> ( h<\/em>, w<\/em> ) –\u00a0g<\/em> ( h<\/em>, w<\/em> ) ) = 0 ) }.
\nDas Modell x<\/em> wird durch drei Hypothesen charakterisiert:<\/p>\n\n\n\n\n\n
H<\/em>1<\/sub><\/td>\nE<\/em>\u00a0\u2286 B<\/em> [ H<\/em>, W<\/em>, g<\/em> ]<\/td>\n<\/tr>\n
H<\/em>2<\/sub><\/td>\n\u2200\u00a0g<\/em> *<\/sup> (\u00a0g<\/em> *<\/sup>\u00a0\u2208 E<\/em>\u00a0\u2192\u00a0\u2200 h<\/em>\u00a0\u2208 H<\/em>\u00a0\u2200 g<\/em> *<\/sup>\u00a0\u2208 B<\/em> [ H<\/em>, W<\/em>, g<\/em> ] ( U<\/em> ( h<\/em>, g<\/em> *<\/sup> ( h<\/em>, 1<\/em> ), …, g<\/em> *<\/sup> ( h<\/em>, n<\/em> ) )\u00a0\u2264 U<\/em> ( h<\/em>, g<\/em> ( h<\/em>, 1 ),\u00a0 …, g<\/em> ( h<\/em>, m<\/em> ) ) )<\/td>\n<\/tr>\n
H<\/em>3<\/sub><\/td>\nE<\/em>\u00a0\u2260 \"\emptyset\".<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Als zweite Theorie T<\/em> ‚ verwenden wir die Theorie der Tauschwirtschaft mit Marktr\u00e4umung<\/em>.<\/p>\n

Ein Modell x<\/em> ‚ hat dieselbe Form wie ein Modell x<\/em>\u00a0\u2208 M<\/em>:<\/p>\n

x<\/em> ‚ =\u00a0\u2329 H<\/em>, W<\/em>, \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{R}\", g<\/em>, p<\/em>, U<\/em>, E<\/em> \u232a.<\/p>\n

Zus\u00e4tzlich wird Hypothese H<\/em>4<\/sub> hinzugef\u00fcgt.<\/p>\n

\u2200\u00a0w<\/em>\u00a0\u2208 W<\/em>\u00a0\u2200 g<\/em> ‚\u00a0\u2208 E<\/em> ( \u03a3 { h<\/em> \/ h<\/em>\u00a0\u2208 H }<\/em><\/sub> g<\/em> ‚ ( h<\/em>, w<\/em> ) = \u03a3 { h<\/em> \/ h<\/em>\u00a0\u2208 H }<\/em><\/sub> g<\/em> ( h<\/em>, w<\/em> ) ).<\/p>\n

a)<\/strong> Beweisen Sie informell, dass x<\/em> ‚ auch ein Modell von T<\/em> ist.
\n