{"id":750,"date":"2017-05-30T11:53:09","date_gmt":"2017-05-30T09:53:09","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=750"},"modified":"2021-02-04T16:51:42","modified_gmt":"2021-02-04T15:51:42","slug":"uebung-17-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-17\/uebung-17-01\/","title":{"rendered":"\u00dc17-1: Bildung von Schnitten"},"content":{"rendered":"\n

Wir legen einen Schnitt durch die Menge X<\/em> = ( \"\mathbb{R}^+\" ) 3<\/sup> der positiven, reellen Zahlen, wobei folgende \u00c4quivalenzrelation \u223c verwendet wird:<\/p>\n\n\n\n

\u2329 a<\/em>1<\/sub>, b<\/em>1<\/sub>, c<\/em>1<\/sub> \u232a \u223c \u2329 a<\/em>2<\/sub>, b<\/em>2<\/sub>, c<\/em>2<\/sub> \u232a gdw \u2203 \u03b1 \u2208 \"\mathbb{R}^+\" ( c<\/em>1<\/sub> = \u03b1 \u22c5 ( a<\/em>1<\/sub>2<\/sup> + b<\/em>1<\/sub>2 <\/sup>) \u2227 c<\/em>2<\/sub> = \u03b1 \u22c5 ( a<\/em>2<\/sub>2<\/sup> + b<\/em>2<\/sub>2 <\/sup>) ).<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Beweisen Sie, dass \u223c eine \u00c4quivalenzrelation ist. Die dritte Komponente c<\/em> ist durch die ersten beiden Komponenten a<\/em> und b<\/em> eindeutig bestimmt, so dass diese Beziehung durch eine Funktion f <\/em>\u03b1<\/sup> beschrieben werden kann: f <\/em>\u03b1<\/sup> : ( \"\mathbb{R}^+\" ) 2<\/sup> \u2192 \"\mathbb{R}^+\", c<\/em> = f <\/em>\u03b1<\/sup> ( a<\/em>, b<\/em> ) = \u03b1 ( a <\/em>2<\/sup> + b <\/em>2<\/sup> ).<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Zeichnen Sie die Menge X<\/em> perspektivisch, in dem Sie drei Achsen x<\/em>, y<\/em> und z<\/em> einf\u00fchren und perspektivisch auf der x<\/em>–y<\/em>-Ebene einen Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt eintragen. Zeichnen Sie f\u00fcr die Funktion f <\/em>1<\/sup> ( \u03b1 = 1 ) drei Argumente: \u2329 1, 0 \u232a, \u2329 0, 1 \u232a und \u2329 ( 1\/2 ), \u03b2 \u232a mit ( 1\/2 ) 2<\/sup> + \u03b2 2<\/sup> = 1, und die zugeh\u00f6rigen Funktionswerte von f <\/em>1<\/sup> ein. Der Abstand zwischen \u2329 (1\/2), \u03b2 \u232a und dem Nullpunkt der x<\/em>–y<\/em>-Ebene ist hier gerade 1.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Bilden Sie drei jeweils kleinere, perspektivisch gezeichnete Kreise und tragen Sie jeweils drei Punkte auf einem Kreis und die Funktionswerte ein. Wenn Sie dies endlos fortsetzen w\u00fcrden, entst\u00fcnde eine gekr\u00fcmmte Fl\u00e4che. Diese Fl\u00e4che bildet einen durch \u223c erzeugten Schnitt durch X<\/em> \u2014 relativ zur Konstante \u03b1 = 1.
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