{"id":785,"date":"2017-05-30T12:04:01","date_gmt":"2017-05-30T10:04:01","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=785"},"modified":"2021-02-04T16:56:57","modified_gmt":"2021-02-04T15:56:57","slug":"uebung-18-01","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-18\/uebung-18-01\/","title":{"rendered":"\u00dc18-1: Eine bedingte Wahrscheinlichkeit"},"content":{"rendered":"\n

Wir betrachten das Beispiel der demokratischen Wahl, in der es nur zwei Kandidaten 0 und 1 gibt. Im Buch werden die Elementarereignisse als Listen von Wahlresultaten (0 oder 1) der W\u00e4hler dargestellt. Im Idealfall wird angenommen, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. W\u00e4re die Anzahl n<\/em> der wahlberechtigten W\u00e4hler genau bekannt, dann w\u00fcrden diese Wahrscheinlichkeiten alle bei 1\/n <\/em>liegen.<\/p>\n\n\n\n

Nehmen wir an, dass es genau 10 W\u00e4hler gibt. Damit ist die Menge \u03a9 der 10-Tupel \u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>10<\/sub> \u232a mit xi<\/sub><\/em> \u2208 { 0, 1 }, i <\/em>= 1, …, 10. Die Zahl der m\u00f6glichen Wahlausg\u00e4nge n<\/em> ist also 210<\/sup> = 1024. Wir betrachten zwei bestimmte Zufallsereignisse A<\/em> und B<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

Jedes Tupel\u00a0\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>10<\/sub>\u00a0\u232a aus A<\/em> enth\u00e4lt genau 5 Wahlstimmen f\u00fcr den Kandidat 1.
Jedes Tupel\u00a0\u2329 x<\/em>1<\/sub>, …, x<\/em>10<\/sub>\u00a0\u232a aus B<\/em> enth\u00e4lt mindestens 2 Wahlstimmen f\u00fcr den Kandidat 0.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Berechnen Sie die Zahlen \u2135 ( A<\/em> ) und \u2135 ( B<\/em> ). Bestimmen Sie die Menge A<\/em> \u2229 B<\/em> und berechnen Sie die Zahl \u2135 ( A<\/em> \u2229 B<\/em> ). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten p<\/em> ( A<\/em> ), p<\/em> ( B<\/em> ) und die bedingte Wahrscheinlichkeit p<\/em> ( A<\/em>\/B<\/em> ) = p<\/em> ( A<\/em> \u2229 B ) \/ p<\/em> ( B<\/em> ), wie dies in Abschnitt 11 im Buch durch relative H\u00e4ufigkeiten beschrieben wird.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Formulieren Sie die Ereignisse A<\/em>, B<\/em> und A<\/em> \u2229 B<\/em> in realistischer Weise. (Hinweis: Stellen Sie sich einen Wahlkampf vor. Eine verschworene Gruppe von Parteig\u00e4ngern ist sich sicher, dass alle Gruppenmitglieder Kandidat 0 w\u00e4hlen. A<\/em> beschreibt die Kopf-an-Kopf Wahl.)<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Interpretieren Sie in diesem Beispiel die bedingte Wahrscheinlichkeit p<\/em> ( A<\/em>\/B<\/em> ) inhaltlich. Warum ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer als 1\/2?<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Diskutieren Sie, ob Sie die am Anfang vorausgesetzte Gleichverteilung der Elementarereignisse realistisch finden. Sehen Sie in diesem Beispiel eine andere Verteilung der Elementarereignisse?<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Formulieren Sie das Beispiel so um, dass alle Wahrscheinlichkeiten durch Prozentwerte angegeben werden k\u00f6nnen. (Hinweis: Ersetzen Sie 10 durch 100.)
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