{"id":790,"date":"2017-05-30T12:05:16","date_gmt":"2017-05-30T10:05:16","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=790"},"modified":"2021-02-04T16:58:39","modified_gmt":"2021-02-04T15:58:39","slug":"uebung-18-03","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-18\/uebung-18-03\/","title":{"rendered":"\u00dc18-3: Wahrscheinlichkeitsdichte"},"content":{"rendered":"\n

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird in einem W-Raum<\/p>\n\n\n\n

\u2329 \u03a9, \"\cal A\", p<\/em> \u232a<\/p>\n\n\n\n

eine Dichte<\/em> f\u00fcr eine Zufallsvariable \u03a6 (im Normalfall) wie folgt definiert. \u00dcber den reellen Zahlen \"\mathbb{R}\" wird die Menge \"\cal B\" der Borel<\/em>-Mengen und das Lebesgue<\/em>-Ma\u00df \u03bb definiert, siehe z.B. (Bauer, 1974).
\u03b4 : \"\mathbb{R}\" \u2192 \"\mathbb{R}\" ist eine Dichte f\u00fcr \u03a6 gdw
1) \u03b4 ist Lebesgue<\/em>-integrierbar (d.h. \u00fcber jeder Borel<\/em>-Menge X<\/em> kann das Integral X<\/em> \u00fcber die Funktion \u03b4 definiert werden),
2) f\u00fcr jede Borel<\/em>-Menge X<\/em> gilt:<\/p>\n\n\n\n

p<\/em> ( { x<\/em> \/ x<\/em> \u2208 \u03a9 \u2227 \u03a6 \u2208 X<\/em> }) = \u222bX<\/sub> \u03b4 d<\/em> \u03bb.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Zeichen Sie den 2-dimensionalen, reellen Zahlenraum und tragen Sie die beiden x<\/em>– und y<\/em>-Achsen ein. Zeichen Sie die sogenannte \u00abGauss<\/em>sche Glockenkurve\u00bb ein. (Hinweis: Wenn Ihnen diese Glockenkurve nicht bekannt ist, sehen Sie in Wikipedia unter \u00abNormalverteilung\u00bb nach.) Zeichnen Sie unter dem Zahlenraum eine Menge \u03a9 ein und eine Funktion \u03a6, welche den Elementen aus \u03a9 reelle Zahlen der x<\/em>-Achse zuordnet. Zeichnen Sie eine Teilmenge Y<\/em> \u2282 \u03a9 und stellen die Menge der Funktionswerte { x<\/em> \/ \u03a6 ( x ) \u2208 Y<\/em> } als eine Teilmenge (z.B. durch ein Intervall) X<\/em> von \"\mathbb{R}\" dar. Zeichnen Sie zwei vertikale Linien ein, die von der \u00ablinken\u00bb und der \u00abrechten\u00bb Seite von X<\/em> nach oben bis zur Funktion \u03b4 f\u00fchren , genauer zum Graphen dieser Funktion. Schraffieren Sie den Bereich zwischen der \u00abunteren\u00bb Begrenzung (der Menge X<\/em>), der \u00aboberen\u00bb Begrenzung (der Funktion \u03b4) und den linken und rechten, vertikalen Linien. Diese Fl\u00e4che stellt das Integral von \u03b4 \u00fcber X<\/em> dar.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Wiederholen Sie den in a) beschriebenen Prozess des Zeichnens mit zwei weiteren Borel<\/em>-Mengen X<\/em>1<\/sub> und X<\/em>1<\/sub>. Zeichnen Sie auf der y<\/em>-Achse die Zahl 1 und die dazugeh\u00f6rige horizontale Linie ein, und zwar so, dass alle Glockenkurven unterhalb der Linie liegen. Interpretieren Sie die Gesamtfl\u00e4che einer Glockenkurve als eine Wahrscheinlichkeit.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Lassen Sie eine Borel<\/em>-Menge immer kleiner werden, so dass diese Menge am Ende zu einem Punkt wird. Diskutieren Sie, was mit der zugeh\u00f6rigen Wahrscheinlichkeit aus der Ebene von \u03a9 geschehen soll.
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