{"id":794,"date":"2017-05-30T12:06:01","date_gmt":"2017-05-30T10:06:01","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=794"},"modified":"2021-02-04T17:00:22","modified_gmt":"2021-02-04T16:00:22","slug":"uebung-18-05","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-18\/uebung-18-05\/","title":{"rendered":"\u00dc18-5: Schritte zur Bildung einer Wahrscheinlichkeitsdichte"},"content":{"rendered":"\n

Wir betrachten ein unendliches Modell x<\/em> = \u2329 G<\/em>1<\/sub>, G<\/em>2<\/sub>, R<\/em> \u232a, wobei G<\/em>1<\/sub>, G<\/em>2<\/sub> und R<\/em> \u2282 G<\/em>1<\/sub> \u00d7 G<\/em>2<\/sub> gegeben sind. Wir nehmen an, dass G<\/em>1<\/sub> endlich viele und G<\/em>2<\/sub> unendlich viele Grundobjekte enth\u00e4lt. Die Anzahl der Elemente aus R<\/em> sei eine unendlich gro\u00dfe Menge von m\u00f6glichen Sachverhalten. Wir untersuchen die Wahrscheinlichkeit, dass eine m\u00f6gliche Faktensammlung z<\/em> im Grad \u03b1 zu einem gegebenen Modell x<\/em> passt. Dabei sollen Grade \u03b1 durch reelle Zahlen zwischen 0 bis 1 dargestellt werden. Da die Menge der m\u00f6glichen Faktensammlungen unendlich ist, k\u00f6nnen relative H\u00e4ufigkeiten nicht verwendet werden. Es gibt zu viele m\u00f6gliche Faktensammlungen.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Bilden Sie das kartesische Produkt G<\/em>1<\/sub> \u00d7 G<\/em>2<\/sub> und die Potenzmenge \u2118 ( G<\/em>1<\/sub> \u00d7 G<\/em>2<\/sub> ). Beschreiben Sie die Typisierung \u03c4 von R<\/em> \u00fcber G<\/em>1<\/sub> und G<\/em>2<\/sub> und die Menge \u03a9 aller m\u00f6glichen Relationen R <\/em>*<\/sup> \u00fcber G<\/em>1<\/sub> \u00d7 G<\/em>2<\/sub>.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Verwenden Sie \u03a9 als Menge von Elementarereignissen und verwenden Sie die Potenzmenge \u2118 ( \u03a9 ) als Menge von Zufallsereignissen \"\cal A\". Formulieren Sie eine Zufallsvariable f<\/em> : \u03a9 \u2192 \"\mathbb{R}\". Jedem Elementarereignis e<\/em> \u2208 \u03a9 wird eine Zahl f<\/em> ( e<\/em> ) = \u03b1 zugeordnet, so dass die Werte in dem reellen Intervall [ 0, 1 ] liegen. Stellen Sie die Zufallsfunktion f<\/em> graphisch dar. Zeichnen Sie die Elemente aus \u03a9 als 2-dimensionale Punkte in einer Ebene mit x<\/em>– und y<\/em>-Achsen.<\/p>\n\n\n\n

c)<\/strong> Zeichnen Sie einen Punkt aus der Ebene in b) ein und links oder rechts von der Ebene einen Kreis. Zeichnen Sie einen Pfeil vom Punkt z<\/em> zu dem Kreis so, dass der Punkt zu dem Kreis aufgeklappt wird. Bezeichnen Sie den Kreis mit R<\/em> ‚. Zeichnen Sie einen weiteren Kreis R<\/em> und einen weiteren Punkt x<\/em>, so dass der Punkt zum Kreis x<\/em> aufgeklappt wird. Interpretieren Sie die Symbole x<\/em>, z<\/em>, R<\/em>, R<\/em> ‚ wie oben beschrieben.<\/p>\n\n\n\n

d)<\/strong> Zeichnen Sie einen weiteren Punkt z<\/em> *<\/sup> in das Koordinatensystem ein, so dass z<\/em> *<\/sup> und x<\/em> horizontal auf derselben Linie liegen. Tragen Sie einen weiteren Kreis R <\/em>*<\/sup> so ein, dass dieser Kreis R <\/em>*<\/sup> zum gr\u00f6\u00dften Teil innerhalb des Kreises R<\/em> liegt, aber ein kleiner Teil von R <\/em>*<\/sup> au\u00dferhalb von R<\/em> liegt. Zeichnen Sie eine horizontale Linie eine, die beide Kreise R<\/em> und R <\/em>*<\/sup> schneidet.<\/p>\n\n\n\n

e)<\/strong> Versuchen Sie eine Dichte \u03b4 zu definieren, \u03b4 : [ 0, 1 ] \u2192 \"\mathbb{R}\". Stellen Sie dazu den Durchschnitt der in d) gezeichneten Kreise von R<\/em> und R <\/em>*<\/sup> auf der horizontalen Linie der beiden Kreise R<\/em> und R <\/em>*<\/sup> dar. Interpretieren Sie die L\u00e4nge dieses Durchschnitts. Versuchen Sie einen Funktionswert \u03b4 ( \u03b1 ) graphisch als eine relative H\u00e4ufigkeit von Relationen R <\/em>*<\/sup> zu interpretieren.<\/p>\n\n\n\n

f)<\/strong> Was machen Sie mit dem Teil von R <\/em>*<\/sup>, der au\u00dferhalb von R<\/em> liegt? Tragen Sie ein Rechteck so ein, dass alle Kreise im Rechteck liegen. Bezeichnen Sie die x<\/em>-Achse des Rechtecks durch G<\/em>1<\/sub> und die y<\/em>-Achse durch G<\/em>2<\/sub>. Verl\u00e4ngern Sie die horizontale Linie durch R<\/em> und R <\/em>*<\/sup>, so dass die Linie komplett durch das Rechteck hindurchgeht. Bestimmen Sie graphisch die L\u00e4nge der Strecke auf der Linie, deren Elemente in R <\/em>*<\/sup> aber nicht in R<\/em> liegen.<\/p>\n\n\n\n

g)<\/strong> \u00dcbersetzen Sie die beiden in der Linie bestimmten L\u00e4ngen der beiden Strecken in mengentheoretische Durchschnitte. (Hinweis: Bilden Sie das Komplement R<\/em> c<\/sup><\/em> von R<\/em> und schneiden Sie R <\/em>*<\/sup> \u2229 R<\/em> c<\/sup><\/em>.)
<\/p>\n\n\n