{"id":897,"date":"2017-05-31T20:14:55","date_gmt":"2017-05-31T18:14:55","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?page_id=897"},"modified":"2021-02-06T12:05:23","modified_gmt":"2021-02-06T11:05:23","slug":"uebung-06-14","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/uebungen\/abschnitt-06\/uebung-06-14\/","title":{"rendered":"\u00dc6-14: M\u00f6gliche Systeme"},"content":{"rendered":"\n

Ein m\u00f6gliches System<\/em> (f\u00fcr eine Theorie) wird gedanklich aus der Menge der Modelle der Theorie wie folgt gebildet.
1) wird ein Modell x<\/em> der Form \"$\langle G_1, ..., G_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R_1, ..., R_{\nu}\rangle$\" genommen.
2) werden die Hypothesen f\u00fcr die Modelle nicht mehr beachtet. Die Komponenten der Liste \"$\langle G_1, ..., G_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R_1, ..., R_{\nu}\rangle$\" werden nur noch als Mengen betrachtet.
3) werden diese Mengen gedanklich vergr\u00f6\u00dfert. Das hei\u00dft, wir k\u00f6nnen die Mengen \"$G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, R^+_1, ..., R^+_{\nu}$\" \u00abirgendwie\u00bb bilden, so dass \"$G_1 \subseteq G^+_1, ..., G_{\kappa} \subseteq G^+_{\kappa},R_1 \subseteq R^+_1, ..., R_{\nu} \subseteq R^+_{\nu}$\" gilt. Dabei bleiben die Hilfsbasismengen \"$A_1, ..., A_{\mu}$\" normalerweise unber\u00fchrt (siehe aber \u00dc6-12<\/a>).
4) k\u00f6nnen einige der Mengen \"$G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu},R^+_1, ..., R^+_{\nu}$\" weggelassen werden. Dazu f\u00fchren wir drei injektive Funktionen<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

\"$\phi_1 : \{1, ..., \kappa'\} \rightarrow \{1, ..., \kappa \}$\", \"$\kappa' \leq \kappa$\",
\"$\phi_2 : \{1, ..., \mu'\} \rightarrow \{1, ..., \mu \}$\", \"$\mu' \leq \mu$\" und
\"$\phi_3 : \{1, ..., \nu'\} \rightarrow \{1, ..., \nu \}$\", \"$\nu' \leq \nu$\"<\/p>

<\/p>\n\n\n\n

ein, und \u00e4ndern die Bezeichnungen der Mengen<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

\"$G^+_1, ..., G^+_{\kappa}, A_1, ..., A_{\mu}, R^+_1, ..., R^+_{\nu}$\" in
\"$G^{++}_1 = G^+_{\phi_1(1)}, ..., G^{++}_{\kappa'} = G^+_{\phi_1(\kappa')}$\",
\"$A^{++}_1 = A_{\phi_2(1)}, ..., A^{++}_{\mu'} = A_{\phi_2(\mu')}$\",
\"$R^{++}_1 = R^+_{\phi_3(1)}, ..., R^{++}_{\nu'} = R^+_{\phi_3(\nu')}$\",<\/p>

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so dass folgende Liste \"$\langle G^{++}_1, ..., G^{++}_{\kappa'}, A^{++}_1, ..., A^{++}_{\mu'}, R^{++}_1, ..., R^{++}_{\nu'}\rangle$\" entsteht.
5) k\u00f6nnen aus diesen Mengen<\/p>\n\n\n\n

<\/p>

\"$G^{++}_1, ..., G^{++}_{\kappa'}, A^{++}_1, ..., A^{++}_{\mu'}, R^{++}_1, ..., R^{++}_{\nu'}$\"<\/p>

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Teilmengen gebildet werden<\/p>\n\n\n\n

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\"$G^*_1, ..., G^*_{\kappa'}, A^*_1, ..., A^*_{\mu'}, R^*_1, ..., R^*_{\nu'}$\":
\"$G^*_1 \subseteq G^{++}_1, ..., G^*_{\kappa'} \subseteq G^{++}_{\kappa'}$\",
\"$A^*_1 \subseteq A^{++}_1, ..., A^*_{\mu'} \subseteq A^{++}_{\mu'}$\",
\"$R^*_1 \subseteq R^{++}_1, ..., R^*_{\nu'} \subseteq R^{++}_{\nu'}$\".<\/p>

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Im Schritt 5) muss darauf geachtet werden, dass jedes Grundelement \"$a_s$\" aus einem Sachverhalt \"$\langle a_1, ..., a_r\rangle$\" (\"$a_s = \pi_s(\langle a_1, ..., a_r\rangle)$\") aus einer Relation \"$R^*_i$\" (d.h. \"$\langle a_1, ..., a_r\rangle \in R^*_i$\") auch in der zugeh\u00f6rigen Grundmenge \"$G^*_t$\" liegt.
Wenn in 5) die Grundmengen \"$G^*_t$\" zu weit eingeschr\u00e4nkt werden, kann das gerade genannte Problem entstehen. In solchen F\u00e4llen werden einfach alle zu viel entfernten Grundelemente \"$a_s$\" wieder zur jeweiligen Menge \"$G^*_t$\" hinzugenommen.
Ein m\u00f6gliches System kann also zuerst von einem Modell aus gesehen aufgebl\u00e4ht und dann wieder in mehreren Schritten verkleinert werden.<\/p>\n\n\n\n

a)<\/strong> Wir geben vier Mengen \"$G_1 = \{a_1, ..., a_9\}, G_2 = \{b_1, ..., b_7\}$\", \"$R_1 = \{ a_2, a_4, a_5, a_7\}$\" und
\"$R_2 = \{ \langle a_2, b_1\rangle, \langle a_2, b_2\rangle, \langle a_2, b_3\rangle, \langle a_2, b_4\rangle,\langle a_2,b_5\rangle,\langle a_2,b_7\rangle,\langle a_3,b_1\rangle,\langle a_3,b_5\rangle,\langle a_5,b_1\rangle,\langle a_5,b_3\rangle,\langle a_5,b_5\rangle,\langle a_6,b_3\rangle,\langle a_6,b_5\rangle,\langle a_7,b_2\rangle,\langle a_7,b_7\rangle,\langle a_8,b_2\rangle,\langle a_8,b_4\rangle,\langle a_8,b_5\rangle,\langle a_9,b_1\rangle,\langle a_9,b_2\rangle,\langle a_9,b_3\rangle,\langle a_9,b_4\rangle \}$\" vor. Hypothesen geben wir gar nicht erst an. Bilden Sie in Schritt 3) Obermengen \"$G^+_1,G^+_2$\", \"$R^+_1$\" und \"$R^+_2$\", wobei mindestens zwei \u00abneue\u00bb Elemente \"c_1, c_2\" zu \"$G_2$\" hinzukommen.
In Schritt 4) definieren Sie die Funktionen \"$\phi_1, \phi_2, \phi_3$\" wie folgt, wobei \"$\kappa = 2, \mu = 0, \nu = 2, \kappa' = 2, \mu' = 0$\" und \"$\nu' = 1$\". \"$\phi_1(1) = 1$\" und \"\phi_1(2)= 2$\"; \"$\phi_3$\" wird hier nicht verwendet; \"$\phi_3(1) = 2$\".
Bilden Sie in Schritt 5) folgende Teilmengen \"$G^*_1 = \{a_3,a_9\}, G^*_2 = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, c_1, c_2\}$\" und \"$R^*_1 = \{\langle a_3,b_1\rangle,\langle a_3,b_5\rangle,\langle a_5,b_5\rangle,\langle a_9,b_1\rangle,\langle a_9,b_2\rangle,\langle a_9,b_3\rangle,\langle a_9,b_4\rangle,\langle a_1,c_1\rangle \}\".
Pr\u00fcfen Sie, ob alle Sachverhalte der Form \"$\langle a_i, b_j\rangle$\" aus \"$R^*_2$\" in den Grundmengen \"$G^*_1$\" und \"$G^*_2$\" vorhanden sind. Wenn nicht, erg\u00e4nzen sie diese Grundmengen.<\/p>\n\n\n\n

b)<\/strong> Wir beschreiben ein einfaches System der klassischen Sto\u00dfmechanik. Es besteht aus 2 Partikeln p<\/em>, p <\/em>‚, den zwei Massenwerten m<\/em> ( p<\/em> ), m<\/em> ( p <\/em>‚ ) der Partikel, den Geschwindigkeiten v<\/em> ( p<\/em>, vorher<\/em> ), v<\/em> ( p <\/em>‚, vorher<\/em> ), v<\/em> ( p<\/em>, nachher<\/em> ), v<\/em> ( p <\/em>‚, nachher<\/em> ) vor und nach einem Sto\u00df, und aus reellen Zahlen. Geschwindigkeiten werden dabei durch reelle Zahlen dargestellt.<\/p>\n\n\n\n

Beschreiben Sie dieses System mengentheoretisch in der Form \u2329 P<\/em>, { vorher<\/em>, nachher<\/em> }, \"\mathbb{R}\", v<\/em>, m <\/em>\u232a. Beschreiben Sie ein m\u00f6gliches System, bei dem die Geschwindigkeiten nach dem Sto\u00df dieselben Richtungen haben, wie die Geschwindigkeiten vor dem Sto\u00df. Interpretieren Sie diese Information.
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