{"id":4137,"date":"2019-05-24T14:53:12","date_gmt":"2019-05-24T12:53:12","guid":{"rendered":"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/?p=4137"},"modified":"2019-05-28T15:55:52","modified_gmt":"2019-05-28T13:55:52","slug":"2019-sose-seminarstunde-05","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/2019\/05\/24\/2019-sose-seminarstunde-05\/","title":{"rendered":"2019 SoSe &#8211; Seminarstunde 05"},"content":{"rendered":"\n<h2>Fakten und wissenschaftlicher Anspruch<\/h2>\n<h3>Intendierte Systeme<\/h3>\n<h4>Von intendierten Anwendungen zu intendierten Systemen<\/h4>\n<p>In einer Theorie werden durch Wissenschaftler bestimmte reale Systeme untersucht und mit Modellen beschrieben und erkl\u00e4rt. Im hier verwendeten strukturalistischen Ansatz der Wis\u00adsen\u00adschaftstheorie werden diejenigen Systeme, die Wissenschaftler interessant finden, als <i>in\u00adtended<\/i> <i>applications<\/i> (intendierte Anwendungen) bezeichnet. Der Ausdruck \u00abapplication\u00bb be\u00adtont den dynamischen, aktiven Aspekt. Oft wird ein wirkliches System aber nur passiv be\u00adtrachtet und untersucht; das System wird nicht angewendet. Zum Beispiel kann in der Gravi\u00adtationstheorie ein schwarzes Loch nicht ver\u00e4ndert werden. Wir verwenden daher einen neutra\u00adleren Term und sprechen von <i>intendierten Systemen<\/i>.<br \/>Modelle werden in der Logik dazu verwendet, um S\u00e4tze in Modellen zu interpretieren und als g\u00fcltig zu erweisen. Wenn ein Satz im Modell g\u00fcltig ist, haben wir ein Indiz, was der Satz be\u00adzogen auf eine bestimmte Situation ausdr\u00fccken soll. Wenn dieser Satz in allen Modellen, wel\u00adche die Hypothesen einer Theorie erf\u00fcllen, g\u00fcltig ist, hat sich das was im Satz ausgedr\u00fcckt wird, weiter verfestigt. S\u00e4tze legen auf diese Weise die Modelle der Theorie fest. Allerdings kommen wir damit der Wirklichkeit kaum n\u00e4her; wir bleiben im Grunde auf der Sprach- und Gedanken\u00adebene.<\/p>\n<h4>Bezug zu wirklichen Systemen<\/h4>\n<p>Die Wissenschaftstheorie m\u00f6chte aber nicht nur \u00fcber Sprachsysteme und Gedanken sprechen, sondern auch \u00fcber andere, wirkliche Systeme. Der Bezug zu realen Ereignissen wird in der Wissenschaftstheorie nicht nur den Sprach- und Humanwissenschaften \u00fcberlassen. In der Wis\u00adsenschaftstheorie wird der Bezug zu einem wirklichen System in die jeweilige Theorie verlegt, die es gerade zu untersuchen gilt. Dazu wird neben den Modellen eine weitere Kom\u00adponente der Theorie verwendet. Diese Komponente verankert die Theorie in wirklichen Ereig\u00adnissen; sie be\u00adsteht aus einer Menge von intendierten Systemen und einer dazugeh\u00f6rigen Men\u00adge von Fakten\u00adsammlungen.<br \/>Die Menge <i>I<\/i>(<i>T<\/i>) der intendierten Systeme der Theorie <i>T<\/i> stellt einen direkten Bezug zu wirkli\u00adchen Systemen dar, welche die Forscher aus dem Blickwinkel der Theorie untersucht haben, gerade untersuchen oder in Zukunft untersuchen m\u00f6chten.<\/p>\n<h4>Bestandteile eines intendierten Systems<\/h4>\n<p>Ein intendiertes System wird durch atomare Terme beschrieben. Dabei bekommt ein inten\u00addier\u00adtes System immer auch einen Namen oder eine Bezeichnung. Ein intendiertes System kann \u00e4hnlich wie ein Modell weiter in elementare Bestandteile zerlegt werden. Bei einer Be\u00adschrei\u00adbung werden auch alle Bestandteile durch atomare Terme repr\u00e4sentiert. Dabei k\u00f6nnen die ver\u00adwendeten atomaren Terme in Grundobjekte, Hilfsobjekte und Sachverhalte und die Sachver\u00adhalte weiter in verschiedene Relationen eingeteilt werden. Eine Relation wird dabei als eine Menge von Sachverhalten gesehen und ein jeder Sachverhalt liegt genau in einer der Relationen der Theorie.<br \/>Oft ist es schwierig zu ent\u00adscheiden, ob ein Ereignis zu einer Grundmenge des intendierten Systems hinzugenommen werden soll oder nicht. Das Problem liegt nicht nur in der approximativen Grenzzie\u00adhung, sondern auch in der zeitlichen Ver\u00e4nderung der Faktenlage. Durch jede Beobachtung, durch jedes Experiment, vergr\u00f6\u00dfert (oder verkleinert) sich das intendierte System. Anders gesagt, \u00e4ndert sich ein inten\u00addiertes System st\u00e4ndig. Aber es soll gleichzeitig auch \u00abdas\u00bb reale System darstellen, das bei den Forschern Interesse findet und einen klar bestimmten Namen hat.<\/p>\n<h4>Vermeidung von Zweideutigkeit<\/h4>\n<p>Der Ausdruck \u00abintendiertes System\u00bb wird in zwei Bedeutungen ver\u00adwen\u00addet:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Einerseits wird ein intendiertes System eindeutig mit einem wirklichen System in Bezie\u00adhung gesetzt, welches sich mit der Zeit im Gro\u00dfen und Ganzen nicht \u00e4ndert. Es soll eine Form haben, die den Modellen der Theorie \u00e4hnelt und die sich aber mit der Zeit nicht \u00e4ndert.<\/li>\n<li>Ande\u00adrerseits \u00e4ndert sich das intendierte System mit der Zeit, wenn durch die laufenden Unter\u00adsuchun\u00adgen st\u00e4ndig neue Fakten \u00fcber das System bekannt werden.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Um diese Zweideutigkeit zu vermei\u00adden, wird jedem intendierten System eine zweite Seite hinzugef\u00fcgt. Zu jedem inten\u00addierten System geh\u00f6rt eine Faktensammlung.<\/p>\n<h3>Potentielle Modelle<\/h3>\n<h4>Wiederholung: Was ist ein Modell?<\/h4>\n<p>Wissenschaftstheoretisch kann die Menge aller Modelle einer Theorie <i>T<\/i> kom\u00adpakt und allgemein dargestellt werden.<br \/><i>M<\/i> ist die Menge aller Modelle der Theorie <i>T<\/i> genau dann wenn f\u00fcr alle <i>x<\/i> gilt:<br \/><i>x<\/i>\u00a0\u2208 <i>M<\/i> genau dann wenn es Mengen <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>k<\/sub>, <i>H<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>H<\/i><sub>m<\/sub>, <i>R<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<\/i><sub>n<\/sub>\u00a0 gibt, so dass gilt:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li><i>x<\/i> = \u2329 <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>\u03ba<\/sub>, <i>H<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>H<\/i><sub>\u03bc<\/sub>, <i>R<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<sub>\u03bd<\/sub><\/i> \u232a und<\/li>\n<li><i>R<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<sub>\u03bd <\/sub><\/i>sind Relationen, die \u00fcber den Mengen <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>\u03ba <\/sub>und <i>H<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>H<\/i><sub>\u03bc <\/sub>konstruiert sind<\/li>\n<li>und <i>Hypothese<\/i><sub>1 <\/sub>( <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<\/i><i><sub>\u03bd <\/sub><\/i>) und &#8230; und <i>Hypothese<\/i><sub>n <\/sub>( <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<\/i><i><sub>\u03bd <\/sub><\/i>) gelten.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Genauso kompakt l\u00e4sst sich ein Modell einer Theorie beschreiben.<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li><i>x<\/i> ist <i>ein Modell der Theorie T<\/i> genau dann wenn<\/li>\n<li><i>x<\/i> ein Element der Menge aller Modelle der Theorie <i>T<\/i> ist.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Einf\u00fchrung<\/h4>\n<p>Die Modellmenge kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Bei einer ersten Verallgemeinerung werden die Definitionen der Modellmenge <i>aller<\/i> Hypothesen der Theorie weggelassen. Das Resultat wird die Menge der <i>potentiellen Modelle der Theorie T<\/i>, <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i>, genannt. Formal ist die Menge <i>M(T)<\/i> eine Teilmenge von <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i>:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\"><i>M(T)<\/i>\u00a0\u2286 <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i>.<\/p>\n<p>Eine Grenzziehung zwischen potentiellen Modellen und Modellen ist damit zwar formal klar, sie wird aber in der Literatur auch auf andere Weise gezogen und bei Rekonstruktionen von Theorien oft nicht genau diskutiert.<\/p>\n<h4>Partiell potentielle Modelle und theoretische Terme<\/h4>\n<p>Aus einem potentiellen Modell wir ein so genanntes <i>partielles potentielles Modell<\/i>, wenn einige der Relationen aus dem potentiellen Modell entfernt werden. Dies f\u00fchrt zum Problem der <i>theoretischen Terme<\/i>. Formal gehen wir von der Liste der Grund\u00adbegriffe f\u00fcr die Relationen von <i>T<\/i> aus und betrachten die Relationen, die an einer be\u00adstimmten Stelle <i>u<\/i> ( 1 \u2264 <i>u<\/i> \u2264 \u03bd ) in den potentiellen Modellen stehen. Die Relation <i>R<\/i><sub><i>u<\/i><\/sub> in den po\u00adtentiellen Modellen von <i>T<\/i> geh\u00f6rt zum entsprechenden Grundbegriff von <i>T<\/i>. Die Menge all dieser Relati\u00adonen <i>R<\/i><sub>u<\/sub>, die bei potentiellen Modellen an der <i>u<\/i>-ten Stelle stehen, bezeichnen wir durch den Term \u03b8 ( <i>R<\/i><sub>u <\/sub>). Dieser Term \u03b8 ( <i>R<\/i><sub>u <\/sub>) ist (<i>relativ zu T<\/i>) <i>T<\/i>&#8211;<i>theoretisch<\/i>, wenn eine Relation <i>R<\/i><sub>u<\/sub> aus \u03b8 ( <i>R<\/i><sub>u <\/sub>) nur genauer bestimmt werden kann, indem alle Hypothesen der Theorie <i>T<\/i> verwendet werden m\u00fcssen.<\/p>\n<h3>M\u00f6glichkeitsraum einer Theorie<\/h3>\n<h4>Einf\u00fchrung<\/h4>\n<p>Bei einem potentiellen Modell k\u00f6nnen einige Komponenten verkleinert, andere vergr\u00f6\u00dfert und wieder andere Komponenten auch v\u00f6llig entfernt werden. Die Menge aller derartigen Systeme wird als der <i>M\u00f6glichkeitsraum der Theorie T<\/i>, kurz: <i>S(T)<\/i>, benannt. Die Elemente diese Raumes werden <i>Systeme f\u00fcr T<\/i> genannt.<br \/>Eine Theorie <i>T<\/i> enth\u00e4lt also neben der Menge <i>M(T)<\/i> der Modelle und der Menge <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i> der po\u00adtentiellen Modelle auch den M\u00f6glichkeitsraum <i>S(T)<\/i>. Formal gilt, dass die Modellmenge <i>M(T)<\/i> eine Teilmenge der Menge <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i> der potentiellen Modelle ist und <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i> eine Teilmenge des M\u00f6glichkeitsraums <i>S(T)<\/i>: <i>M(T)<\/i>\u00a0\u2282 <i>M<\/i><sub><i>p<\/i><\/sub><i>(T)<\/i>\u00a0\u2282 <i>S(T)<\/i>.<\/p>\n<h4>Darstellung<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2020\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig27-300x235.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"391\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig27-300x235.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig27-768x601.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig27-1024x801.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<p>\u00a0<\/p>\n<h3>Fakten<\/h3>\n<h4>Erste Facette<\/h4>\n<p>Ein Faktum ist in der Beschreibungsebene ein Term.<br \/>Ein solcher Term <strong><em>t<\/em><\/strong> f\u00fcr ein Faktum kann drei Formen haben:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li><strong><em>t<\/em><\/strong> kann ein Name (eine Konstante) sein, die in einer wissenschaftlichen Gruppe homogen verwendet wird. D.h. alle Personen aus einer Gruppe verwenden den Namen f\u00fcr \u00abdieselbe Sache\u00bb. Der Name bezeichnet ein f\u00fcr die Gruppe klares Ereignis (oder Ph\u00e4nomen, Ding, Tatsache, Sachverhalt). Das Ereignis muss in einem intendierten System der Gruppe wahrgenommen worden sein.<\/li>\n<li><strong><em>t<\/em><\/strong> kann eine Gleichung sein: <em>( t<sub>1<\/sub> = t<sub>2 <\/sub>)<\/em>, wobei <em>t<sub>1<\/sub><\/em>, <em>t<sub>2<\/sub><\/em> induktiv aufgebaute Funktionsterme <em>f ( te<sub>1<\/sub>, \u2026, te<sub>m <\/sub>)<\/em> sind, die letzten Endes nur aus Konstanten konstruiert werden.<\/li>\n<li><em><strong>t<\/strong><\/em> kann die Form eines Sachverhalts <em>p ( t<sub>1<\/sub>, \u2026, t<sub>n <\/sub>)<\/em> haben, wobei <em>t<sub>1<\/sub>, \u2026, t<sub>n<\/sub><\/em> Funktionsterme sind.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Neben den so konstruktiv bestimmten Fakten gibt es auch theoretische, <em>abgeleitete<\/em> Fakten. Die nicht abgeleiteten Fakten nennen wir <em>unmittelbare<\/em> Fakten. <strong><em>t<\/em><\/strong> wird aus anderen Fakten und Hypothesen (S\u00e4tzen) abgeleitet, wobei <strong><em>t<\/em><\/strong> am Ende nur aus unmittelbaren Fakten abgeleitet wird.<\/p>\n<h4>Zweite Facette<\/h4>\n<p>Ein Faktum \u00abist\u00bb ein reales Ereignis, das von der Gruppe wahrgenommen wird. Das Ereignis muss ein Bestandteil eines intendierten Systems sein.<br \/>Ein Faktum wird im allgemeinen auf verschiedene Weise notiert. In Prolog ist es sinnvoll, einen Fakt <em>fakt<\/em> mit einem Wrapper zu umschlie\u00dfen, z.B. <span style=\"font-family: courier new,courier,monospace;\">fw(1,typ1,fakt)<\/span> oder <span style=\"font-family: courier new,courier,monospace;\">fw(3564756,typ3,faktX)<\/span>.<br \/><em>1<\/em> und <em>3564756<\/em> sind \u00abNamen\u00bb f\u00fcr Fakten. Diese werden weiter durch Typen wie <em>typ1<\/em> und <em>typ3<\/em> unterschieden. <em>typ1<\/em> kann in einer Anwendung z.B. besagen, dass der <em>fakt<\/em> eine Person betrifft (\u00abist\u00bb) und <em>typ3<\/em> ein Objekt (keine Person).<\/p>\n<h3>Faktensammlungen<\/h3>\n<h4>Einf\u00fchrung<\/h4>\n<p>Eine Faktensammlung besteht lediglich aus Fakten. Ein Faktum kann drei Formen haben. Es kann durch einen atomaren, variablenfreien Satz oder durch eine Liste mit (hybriden) Namen oder durch einen Namen beschrieben werden. Bei allen drei M\u00f6glichkeiten soll ein Satz oder ein Name ein wirkliches Ereignis bezeichnen. Meist wird ein Faktum durch ein Pr\u00e4dikat und ein Argument (oder mehrere Argumente) be\u00adschrieben.<br \/>An diesem Punkt kommt bei der Beschreibung einer Faktensammlung die Zeit ins Spiel. Ein intendiertes System bleibt zeitlich im Gro\u00dfen und Ganzen gleich. Aber die Menge der Fakten, die aus der Erforschung eines bestimmten intendierten Systems stammt, \u00e4ndert sich mit der Zeit. Genau die Fakten, die zur Zeit <i>z<\/i> bekannt und (teilweise) gesichert sind und vom gege\u00adbenen System kommen, bilden eine Menge von Fakten. Diese Menge nennen wir die <i>Fakten\u00adsammlung<\/i> (<i>der Theorie T zum Zeitpunkt z<\/i>). Eine Faktensammlung bezieht sich immer auf einen gegebenen Zeitpunkt der Theorie <i>T<\/i>; sie existiert zu einem bestimmten Zeitpunkt.<\/p>\n<h4>Aufbau einer\u00a0 Faktensammlung<\/h4>\n<p>Faktensammlungen haben wie Modelle die Form von Listen von Mengen. Eine Faktensamm\u00adlung wird durch eine Liste von Komponenten dargestellt und jede Komponente ist selbst eine Menge von atomaren, variablenfreien S\u00e4tzen, Listen oder Namen.<br \/>Neben dem Namen verf\u00fcgt die Faktensammlung \u00fcber variablenfreie, atomare Ausdr\u00fccke, die bestimmte Ereignisse, Objekte, Sachverhalte und andere Aspekte bezeichnen, die innerhalb des Systems bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden sind oder dort ablaufen. Alle Be\u00adzeich\u00adnungen f\u00fcr die Entit\u00e4ten, die bis zum Zeitpunkt <i>z<\/i> im Inneren des intendierten Systems liegen oder stattfinden und der Name des Systems bilden zusammengenommen die Fakten einer Fak\u00adtensammlung.<br \/>Formal k\u00f6nnen wir eine Faktensammlung zu einem gegebenen Zeitpunkt <i>z<\/i> so schreiben:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 30px;\">\u2329 <i>G<\/i><sub>1<\/sub><sup>z<\/sup>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>\u03ba*<\/sub><sup>z<\/sup>, <i>H<\/i><sub>1<\/sub><sup>z<\/sup>, &#8230;, <i>H<\/i><sub>\u03bc*<\/sub><sup>z<\/sup>, <i>R<\/i><sub>1<\/sub><sup>z<\/sup>, &#8230;, <i>R<\/i><sub>\u03bd*<\/sub><sup>z <\/sup>\u232a.<\/p>\n<h4>Faktensammlungen und Modelle<\/h4>\n<p>Wissenschaftstheoretisch lassen sich Faktensammlungen und Modelle ziemlich klar trennen. Hypothesen beschreiben Gemeinsamkeiten aller Modelle, w\u00e4hrend es bei Fakten um einzelne, elementare Bestandteile eines bestimmten Systems geht. Ein Faktum erfasst einen elementa\u00adren Bestandteil eines intendierten Systems, der direkt wahrgenommen oder in einem konstruktiven Sinn auf wahrnehmbare Ereignisse zur\u00fcckgef\u00fchrt werden kann. Eine Hypothese dagegen be\u00adschreibt gr\u00f6\u00dfere Zusammenh\u00e4nge vieler Ereignisse. Eine Hypothese enth\u00e4lt meist Ausdr\u00fccke wie <i>es gibt<\/i> oder <i>f\u00fcr alle<\/i>, welche sich auf variable Weise auf viele verschiedene Dinge und Ereignisse beziehen.<br \/>Zum Beispiel ist in der Gravitationstheorie eine Mondfinster\u00adnis zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Faktum, dagegen ist eine Gleichung, die alle Zeit\u00adpunkte und Orte der Partikel zusammenbringt, eine Hypothese.<\/p>\n<h4>Arten von Fakten<\/h4>\n<p>Fakten aus einer Theorie <i>T<\/i> k\u00f6nnen grob in drei Arten eingeteilt werden:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Ein Faktum ist f\u00fcr <i>T<\/i> <u>gesichert<\/u>, wenn es eine hohe Wahrschein\u00adlichkeit hat, richtig zu sein. Das Ereignis wurde wahrgenommen und gut gepr\u00fcft.<\/li>\n<li>Ein <u>teilwei\u00adse gesichertes<\/u> Faktum wurde zwar wahrgenommen, es wurde aber nicht genau gepr\u00fcft.<\/li>\n<li>Bei <u>ver\u00admuteten<\/u> Fakten m\u00fcssen andere positive Indizien vorliegen.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Diese Einteilung l\u00e4sst sich ohne M\u00fche auch auf Faktensammlungen \u00fcbertragen. Eine m\u00f6gliche Faktensammlung oder ein m\u00f6gliches Faktum wird nur gedanklich bei rein theoretischen \u00dcberlegungen \u00fcber Form und \u00c4hnlichkeit verwendet.<\/p>\n<h4>Eingeschr\u00e4nkte Komponenten eines Modells<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2022\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig28-270x300.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"555\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig28-270x300.jpg 270w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig28-768x852.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig28-923x1024.jpg 923w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<h4>Modelle, Faktensammlungen und Wirklichkeit<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2024\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig29-247x300.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"606\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig29-247x300.jpg 247w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig29-768x932.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig29-844x1024.jpg 844w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<h4>Einbettung und Einschr\u00e4nkung im M\u00f6glichkeitsraum<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2025\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig30-300x278.jpg\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"370\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig30-300x278.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig30-768x711.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig30-1024x948.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<h2>Wissenschaftlicher Anspruch<\/h2>\n<h3>Einf\u00fchrung<\/h3>\n<h4><b>Der Begriff \u201ewissenschaftlicher Anspruch\u201c<\/b><\/h4>\n<p>In der Wissenschaftstheorie wird \u00fcblicherweise der Begriff \u00abempirische Behauptung\u00bb (<i>empirical<\/i> <i>claim<\/i>) verwendet. Wir verwenden das Wort \u00abAnspruch\u00bb und nicht \u00abBehauptung\u00bb, um die praktische Seite der Wissenschaft zu betonen. Im Weiteren verzichten wir auf das Adjektiv \u00abwissenschaftlich\u00bb und sprechen einfach von Anspr\u00fcchen.<br \/>In der Wissenschaft werden Anspr\u00fcche haupts\u00e4chlich auf Theorien \u2013 Ansichten \u2013 bezogen. Eine bestimmte Ansicht erhebt einen Anspruch auf Wahrheit und wenn es eine zweite, \u00e4hnliche Ansicht gibt, wird um die Wahrheit gestritten.<\/p>\n<h4><b>Wie kann eine Theorie einen Anspruch erheben?<\/b><\/h4>\n<p>Im strukturalistischen Ansatz besagt der Anspruch einer Theorie, dass eine Faktensammlung der Theorie zu den Modellen der Theorie passen. Da eine Theorie eine Zeitkomponenten hat, hei\u00dft dies:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Zu jedem Zeitpunkt <i>z<\/i>, zu dem die Theorie existiert, passt die Menge der Faktensammlungen zu <i>z<\/i> zur Menge der Modelle der Theorie.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der Anspruch einer Theorie wird durch Passung formuliert, wobei wir die Hilfsbasismengen in allen Systemen der Theorie implizit lassen. Ein Anspruch l\u00e4sst sich in mehreren Schritten be\u00adschreiben. Wenn ein Modell x = \u2329 <i>G<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>\u03ba<\/sub>, <i>R<\/i><sub>1<\/sub>, &#8230;, <i>R<\/i><sub>\u03bd <\/sub>\u232a und eine Faktensammlung y = \u2329 <i>G<\/i><sub>1<\/sub><sup>z<\/sup>, &#8230;, <i>G<\/i><sub>\u03ba*<\/sub><sup>z<\/sup>, <i>R<\/i><sub>1<\/sub><sup>z<\/sup>, &#8230;, <i>R<\/i><sub>\u03bd*<\/sub><sup>z <\/sup>\u232a zu einem festen Zeitpunkt <i>z<\/i> der Theorie gegeben sind, passt <i>y<\/i> zu <i>x<\/i>, wenn f\u00fcr alle Grundmengen und Relationen von <i>y<\/i> folgendes gilt:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Jede Grundmenge <i>G<\/i><sub>i*<\/sub><sup>z<\/sup> ist eine Teilmenge der \u00abentsprechenden\u00bb Grundmenge <i>G<\/i><sub>\u03c81(i*)<\/sub><\/li>\n<li>und jede Relation <i>R<\/i><sub>u*<\/sub><sup>z<\/sup> ist eine Teilmenge der \u00abentsprechenden\u00bb Relation <i>R<\/i><sub>\u03c83(u*)<\/sub>.<\/li>\n<\/ul>\n<h4>Eine Faktensammlung passt zu einem Modell<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2045 size-medium\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig31-300x248.jpg\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"248\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig31-300x248.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig31-768x635.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig31-1024x847.jpg 1024w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig31.jpg 1391w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<h3>\u00dcberpr\u00fcfung von Hypothesen<\/h3>\n<h4>Zwei Arten von Hypothesen<\/h4>\n<p>Die in der letzten Abbildung allgemein illustrierten Fehler entstehen, wenn Grundelemente und Ereignisse oder Sachverhalte fehlerhaft notiert oder in der Wirklichkeit so nicht anzutreffen sind oder wenn verschiedene Ereignisse durch Hypothesen fehlerhaft miteinander verkn\u00fcpft sind.<br \/>Wir unterscheiden zwei Arten von Hypothesen:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Eine Hypothese der ersten Art bezieht sich nur auf Ereignisse desselben Typs. Mengentheoretisch gesprochen, sind alle Ereignisse Elemente der\u00adselben Relation.<\/li>\n<li>Bei Hypothesen der zweiten Art werden Ereignisse verschiedener Arten verkn\u00fcpft. Diese Hypothesen nennen wir <i>Verkn\u00fcpfungshypothesen<\/i> (<i>cluster<\/i> <i>laws<\/i>). In einer solchen Hypothese werden mindestens zwei Grundrelationen verwendet. Oft gibt es in einer Theorie eine einzige, zentrale Verkn\u00fcpfungshypothese, in der alle Grundrelationen der Theorie verwendet werden. Das klassische Beispiel ist hier das zweite <i>Newton<\/i>sche Axiom, in dem Ort, Zeit, Geschwindig\u00adkeit, Beschleu\u00adnigung, Masse und Kraft zu einer unaufl\u00f6sbaren Einheit werden.<\/li>\n<\/ul>\n<h4><b>Passung einer Faktensammlung zu einem Modell<\/b><\/h4>\n<p>Wenn die Fakten in einem gegebenen Zeitpunkt vorhanden sind, wird die Passung einer Faktensammlung zu einem gegebenen Modell \u00fcber die Hypothesen \u00fcberpr\u00fcft.<br \/>In empirischen Anwendungen wird gepr\u00fcft, ob eine Hypothese durch die Fakten best\u00e4tigt wird. Dieses Best\u00e4tigungsverfahren ist immer ein Teil der Passung. Ein solches Verfahren liegt oft weit von einer logischen Ableitung entfernt. Eine Hypothese ben\u00f6tigt oft viele Fakten zur Be\u00adst\u00e4tigung. Es kann aber sein, dass einige f\u00fcr eine \u00dcberpr\u00fcfung notwendige Fakten in einer Fak\u00adtensammlung einfach nicht vorhanden sind. Oder es kann sein, dass ein atomarer Ausdruck, der ein Faktum beschreibt, den falschen Wahrheitswert hat. Bei Pr\u00fcfung einer Hy\u00adpothese muss zum Beispiel ein bestimmter Ausdruck falsch sein, um die Hypothese zu best\u00e4\u00adtigen. In an\u00adderen F\u00e4llen muss ein Faktum mindestens einmal vorhanden sein, um mit der Pr\u00fcfung der Hypothese weiter zu kommen.<br \/>Eine Faktensammlung passt zu einem Modell, wenn alle Hypothesen und die Fakten zu einem gegebenen Zeitpunkt im Modell g\u00fcltig sind.<\/p>\n<h4><b>Fehlen von Messmethoden<\/b><\/h4>\n<p>Besonders heikel wird die \u00dcberpr\u00fcfung einer Hypothese, wenn es zu diesem Zeitpunkt keine Messmethoden f\u00fcr eine bestimmte Relation (f\u00fcr einen bestimmten Begriff) in den Modellen gibt. In diesen F\u00e4llen ist ein Grundbegriff der Theorie entweder sehr abstrakt oder der zentrale Grundbegriff der Theorie hat die Funktion, alle Begriffe und Hypothesen zu einem Ganzen werden zu lassen.<br \/>Wird ein Begriff in der Theorie nur durch die Hypothesen der Theorie bestimmt, kann dies zum Problem der theoretischen Terme f\u00fchren.<br \/>Zum Beispiel gilt dies f\u00fcr den Begriff der Kraft in der Newtonschen Me\u00adcha\u00adnik oder f\u00fcr den Begriff des Nutzens in der Mikro\u00f6konomie. Zumindest in der Anfangs\u00adphase bestimmter, sehr umfassender Theorien, gibt es keine Mess- oder Bestimmungsmetho\u00adden f\u00fcr einen zentralen Begriff. Daher gibt es in diesem Fall nur eine einzige M\u00f6glichkeit, bestimmte Werte f\u00fcr diesen Begriff zu erhalten: der Wert muss durch Hypothesen und Fakten abgeleitet werden. Wobei die verwendeten Fakten aber nicht mit dem zentralen Begriff formu\u00adliert werden d\u00fcrfen.<\/p>\n<h3>Passung<\/h3>\n<h4><b>Von Hypothesen zu Modellumgebungen<\/b><\/h4>\n<p>Die verschiedenen Fehlerquellen bei der \u00dcberpr\u00fcfung der Hypothesen f\u00fchren aber nicht gleich dazu, die gerade verwendeten Hypothesen zu verwerfen. Solche Fehler werden mit Be\u00addacht zur Kenntnis genommen und dann genauer untersucht. Eine Faktensammlung zur Zeit <i>z<\/i> passt zwar nicht in Idealform zu einem Modell, sie passt aber oft <i>fast<\/i> dazu. Oft macht es Sinn, eine Faktensammlung nur approximativ mit einem Modell zur Passung zu bringen.<br \/>Im Allgemeinen wird Passung so erweitert, dass eine ganze Umgebung des Modells metho\u00addisch verwendet wird. Oft gen\u00fcgt es, ein potentielles Modell zu finden, das nahe am gegebenen Modell liegt. Es wird eine Umgebung des Modells definiert und nach einem potentiellen Mo\u00addell aus dieser Umgebung gesucht, das zur Faktensammlung passt. Im einfachsten Fall l\u00e4sst sich eine solche Umgebung durch eine einzige Zahl definieren. Es gibt topologische Metho\u00adden, mit de\u00adnen aus einer Zahl und einem potentiellen Modell eine ganze Umgebung konstru\u00adiert werden kann.<\/p>\n<h4><b>Drei Passungsm\u00f6glichkeiten<\/b><\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2048\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig32-300x155.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig32-300x155.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig32-768x398.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig32-1024x530.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><br \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2049\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig33-300x155.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig33-300x155.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig33-768x398.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig33-1024x530.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<h4><b>Von einer zu allen Faktensammlungen<\/b><\/h4>\n<p>Damit ist die Passung f\u00fcr eine gegebene Theorie aber noch nicht beendet. Nicht <i>eine<\/i> Faktensammlung zu einem gegebenen Zeitpunkt wird betrachtet, sondern alle Faktensammlungen der Theorie zu diesem Zeitpunkt m\u00fcssen zu den Modellen passen. Dies er\u00f6ffnet drei M\u00f6g\u00adlichkei\u00adten:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Erstens kann es sein, dass jede Faktensammlung zu einem Modell passt: die Theo\u00adrie ist v\u00f6llig richtig.<\/li>\n<li>Bei der zweiten M\u00f6glichkeit wird jede Faktensammlung mit einem po\u00adtentiellen Modell zur Passung gebracht das nahe bei einem Modell liegt: die Theorie ist mit einer gewis\u00adsen Wahrscheinlichkeit richtig.<\/li>\n<li>Bei der dritten M\u00f6glichkeit gibt es Faktensamm\u00adlungen, die we\u00adder ideal noch approximativ zu Modellen oder potentiellen Modellen passen: die Theorie ist falsch.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der zweite Fall stellt f\u00fcr anwendungsbezogene Disziplinen den Nor\u00admalfall dar.<br \/>Der dritte Fall f\u00fchrt dazu, dass die Theorie ver\u00e4ndert wird.<\/p>\n<h3>Gehalt einer Theorie<\/h3>\n<h4><b>Arten der Einbettung<\/b><\/h4>\n<p>Da die Beziehung der Einbettung <i>ebt<\/i> einer Faktensammlung in ein Modell im Allgemeinen nicht die Funktionseigenschaften hat, kann es vorkommen, dass verschiedene Faktensysteme in dasselbe Modell eingebettet werden oder dass eine Faktensammlung in verschiedene Mo\u00addelle eingebettet wird. Es kann auch vorkommen, dass es sehr viele Modelle gibt, die zur Pas\u00adsung nicht herangezogen werden. Um diese Punkte zu kl\u00e4ren, beginnen wir mit der Menge der Faktensammlungen zu einem gegebenen Zeitpunkt, die in ein Modell eingebettet werden kann. Wir verallgemeinern dann diese Beziehung auf potentielle Modelle und auf m\u00f6gliche Systeme. Wenn eine Menge <i>X<\/i> von potentiellen Modellen und eine Menge <i>Y<\/i> von Systemen gegeben ist, definieren wir, dass die Menge <i>Y<\/i> von Systemen in die Menge <i>X<\/i> von potentiellen Modellen eingebettet ist (kurz: <i>Y <\/i><i>ebt<\/i><i>* X <\/i>) genau dann, wenn es f\u00fcr alle Systeme <i>y<\/i>\u00a0\u2208 <i>Y<\/i> ein potentielles Modell <i>x<\/i> gibt, so dass <i>y<\/i> in <i>x<\/i> eingebettet ist. Abgek\u00fcrzt geschrieben:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>( <i>Y <\/i><i>ebt<\/i><i>* X <\/i>) genau dann wenn es f\u00fcr alle <i>y<\/i>\u00a0\u2208 <i>Y<\/i> ein <i>x<\/i>\u00a0\u2208 <i>X <\/i>gibt, so dass ( <i>y <\/i><i>ebt<\/i><i> x<\/i>) gilt.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die erste Art der Einbettung (<i>ebt<\/i>) findet zwischen Systemen statt, die zweite Art (<i>ebt<\/i><i>*<\/i>) zwi\u00adschen Mengen von Systemen.<\/p>\n<h4><b>Definition<\/b><\/h4>\n<p>Zu einem gegebenen Zeitpunkt kann nun die Menge von Fakten\u00adsammlungen in die Menge der Modelle der Theorie einbettet werden. In der Mengenschreib\u00adweise l\u00e4sst sich dies folgenderma\u00dfen definieren:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Der <i>Gehalt<\/i>(<i>X<\/i>) von <i>X<\/i> wird als die Vereinigung aller <i>Y<\/i> definiert,<br \/>die die Einbettung ( <i>Y <\/i><i>ebt<\/i><i>* X <\/i>) erf\u00fcllen:<br \/><i>Gehalt<\/i>(<i>X<\/i>) = \u222a {\u00a0<i>Y<\/i> \/ ( <i>Y <\/i><i>ebt<\/i><i>* X <\/i>) }.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn der Operator <i>Gehalt<\/i> speziell auf die Menge der Modelle der Theorie angewendet wird, nennt man die Menge <i>Gehalt<\/i>(<i>M<\/i>) den <i>Gehalt<\/i> <i>der Theorie<\/i> (<i>theory&#8217;s<\/i> <i>content<\/i>). Der Gehalt der Theorie umfasst alle Systeme, die sich in Modelle einbetten lassen. Den Anspruch der Theorie erh\u00e4lt man, wenn man fragt, ob die Menge der Faktensammlungen, die zu einem Zeitpunkt <i>z<\/i> gegeben ist, im <i>Gehalt<\/i>(<i>M<\/i>) liegt.<\/p>\n<h4><b>Ausgangsposition und 3 m\u00f6gliche Faktensammlungen<\/b><\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2052\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig34-300x155.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"259\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig34-300x155.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig34-768x398.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig34-1024x530.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><br \/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2053\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig35-300x171.jpg\" alt=\"\" width=\"500\" height=\"285\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig35-300x171.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig35-768x438.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig35-1024x584.jpg 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 500px) 100vw, 500px\" \/><\/p>\n<h3>Modellumgebungen<\/h3>\n<h4><b>Einf\u00fchrung<\/b><\/h4>\n<p>Ob die Theorie zu den Faktensammlungen passt, h\u00e4ngt auch vom verwendeten Ann\u00e4herungsgrad ab, der eine Umgebung f\u00fcr die Modelle festlegt. Wenn ein Umgebungsbegriff verwendet wird, in dem die Umgebung eines Modells durch einen Abstand \u2013 oder durch eine einzige, positive Zahl &#8211; festgelegt wird, sieht man sofort, dass es wichtig wird, eine ir\u00adgendwie der Realit\u00e4t angemessene Zahl zu verwenden.<br \/>Zu einer Theorie geh\u00f6rt normalerweise auch ein Approximationsapparat, mit dem Abst\u00e4nde und\/oder Umgebungen bestimmt werden k\u00f6nnen. Die Bestimmung und Untersuchung von Abst\u00e4nden und Umgebungen wird in jeder wissenschaftlichen Disziplin anders gehandhabt.<br \/>In der Wissenschaftstheorie m\u00fcssen Abst\u00e4nde und Umgebungen auch wissen\u00adschafts\u00fcbergreifend untersucht werden m\u00fcssen. Es reicht nicht aus, den Approximationsappa\u00adrat einer bestimmten Theorie zu kennen und anwenden zu k\u00f6nnen. Beim Ver\u00adgleich zweier Theorien m\u00fcssen auch die eventuell verschiedenen statistischen Begriffe und Methoden beach\u00adten. Daher sind die Begriffe des Abstands und der Umgebung so zu beschreiben, dass sie f\u00fcr alle Theorien verwendet werden k\u00f6nnen. Die speziellen Abstands- und Umgebungsme\u00adthoden einer bestimmten Theorie lassen sich dann unter die in der Wissenschaftstheorie all\u00adgemein be\u00adhandelten Begriffe subsumieren.<\/p>\n<h4><b>Definition einer Umgebung ohne Abstandsbegriff<\/b><\/h4>\n<p>Im Folgenden wird das einfachste Umgebungssystem f\u00fcr einen Punkt <i>x<\/i>0 dargestellt, bei dem weder Ab\u00adst\u00e4nde noch Uniformit\u00e4ten verwendet werden. Dieses System besteht aus drei Komponenten, aus einer Menge <i>P<\/i> von <i>Punkten<\/i>, aus einem ausgezeichneten \u00abUrsprungspunkt\u00bb <i>x<\/i><sub>0<\/sub> und aus einer Menge <i>U<\/i> von <i>Umgebungen<\/i> von <i>x<\/i><sub>0<\/sub>: <i>UR<\/i> = \u2329 <i>P<\/i>, <i>x<\/i><sub>0<\/sub>, <i>U <\/i>\u232a. Eine Umgebung <i>u<\/i> aus <i>U<\/i> besteht aus einer Menge von Punkten, die alle in einer Umgebung des Ursprungspunkts <i>x<\/i><sub>0<\/sub> liegen. Ob eine Menge von Punkten <i>u<\/i> eine Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> ist, h\u00e4ngt entscheidend davon ab, ob <i>u<\/i> zur Menge <i>U<\/i> aller Umgebun\u00adgen von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> geh\u00f6rt oder nicht. Das hei\u00dft, ein Umgebungssystem enth\u00e4lt nur eine bestimmte Auswahl von Umgebungen, die durch folgende Hypothesen sehr allgemein charakterisiert wird:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Jede Obermenge einer Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> ist Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub>.<\/li>\n<li>Der Durchschnitt endlich vieler Umgebungen von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> ist eine Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub>, und <i>P<\/i> ist eine Umgebung von <i>x<\/i>.<\/li>\n<li>Jede Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> enth\u00e4lt <i>x<\/i><sub>0<\/sub>.<\/li>\n<li>Ist <i>u<\/i> Umgebung von <i>x<\/i><sub>0<\/sub>, so gibt es eine Umgebung <i>v<\/i> von <i>x<\/i><sub>0<\/sub> derart, dass <i>u<\/i> Umge\u00adbung jedes Punktes von <i>v<\/i> ist.<\/li>\n<\/ul>\n<h4><b>Definition einer Umgebung mit Abstandsbegriff<\/b><\/h4>\n<p>Der Umgebungsbegriff kann auch durch eine Abstandsfunktion <i>d<\/i> definiert werden. Durch diese Funktion bekommen je zwei Punkte <i>a<\/i> und <i>b<\/i> aus <i>P<\/i> eine nicht negative, reelle Zahl\u00a0\u03b1 zugeordnet: <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>b <\/i>) = \u03b1. Die Menge \u211c<sup>+<\/sup><sub>0<\/sub> dieser nicht negativen, reellen Zahlen wird dabei als bekannt vorausgesetzt. Das bedeutet, dass die verschiedenen Hypothesen, welche die Menge der reellen Zahlen charakterisieren, nicht explizit angegeben werden. F\u00fcr die Abstandsfunk\u00adtion <i>d<\/i> werden folgende Hypothesen verwendet:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: disc;\">\n<li>Es ist stets <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>a <\/i>) = 0, und aus <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>b <\/i>) = 0 folgt <i>a<\/i> = <i>b<\/i>.<\/li>\n<li>F\u00fcr je zwei Punkte <i>a<\/i>, <i>b<\/i> gilt <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>b <\/i>) = <i>d <\/i>( <i>b<\/i>, <i>a <\/i>).<\/li>\n<li>F\u00fcr je drei Punkte <i>a<\/i>, <i>b<\/i>, <i>c<\/i> gilt: <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>c <\/i>)\u00a0\u2264 <i>d <\/i>( <i>a<\/i>, <i>b <\/i>) + <i>d <\/i>( <i>b<\/i>, <i>c <\/i>).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ausgehend von einem Punkt <i>a<\/i><sub>0<\/sub> und einer nicht negativen, reellen Zahl\u00a0\u03b1 wird mit Hilfe der Abstandsfunktion <i>d<\/i> eine Umgebung <i>u<\/i> wie folgt definiert:<br \/><i>\u00a0 u<\/i> =\u00a0 { <i>b<\/i> \/ <i>b<\/i>\u00a0\u2208 <i>P<\/i> und <i>d <\/i>( <i>a<\/i><sub>0<\/sub>, <i>b <\/i>)\u00a0\u2264\u00a0\u03b1 }.<\/p>\n<h4>Verschiedene Modellumgebungen<\/h4>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-2056\" src=\"http:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig36-300x285.jpg\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"380\" srcset=\"https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig36-300x285.jpg 300w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig36-768x731.jpg 768w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig36-1024x974.jpg 1024w, https:\/\/theory-of-science.com\/de\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2017\/12\/fig36.jpg 1866w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><\/p>\n<h3>\u00a0<\/h3>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Fakten und wissenschaftlicher Anspruch Intendierte Systeme Von intendierten Anwendungen zu intendierten Systemen In einer Theorie werden durch Wissenschaftler bestimmte reale Systeme untersucht und mit Modellen beschrieben und erkl\u00e4rt. 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